微分積分例

$f (x) = x {(x - 10)}^{2}$ ; $[0, 10]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

${(x - 10)}^{2}$ を $(x - 10) (x - 10)$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x ((x - 10) (x - 10))]$

ステップ 1.1.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 10) (x - 10)$ を展開します。

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ステップ 1.1.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [x (x (x - 10) - 10 (x - 10))]$

ステップ 1.1.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [x (x \cdot x + x \cdot - 10 - 10 (x - 10))]$

ステップ 1.1.1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [x (x \cdot x + x \cdot - 10 - 10 x - 10 \cdot - 10)]$

ステップ 1.1.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.1.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} + x \cdot - 10 - 10 x - 10 \cdot - 10)]$

ステップ 1.1.1.3.1.2

$- 10$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 10 \cdot x - 10 x - 10 \cdot - 10)]$

ステップ 1.1.1.3.1.3

$- 10$ に $- 10$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 10 x - 10 x + 100)]$

ステップ 1.1.1.3.2

$- 10 x$ から $10 x$ を引きます。

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 20 x + 100)]$

ステップ 1.1.1.4

$f (x) = x$ および $g (x) = x^{2} - 20 x + 100$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [x^{2} - 20 x + 100] + (x^{2} - 20 x + 100) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.5

微分します。

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ステップ 1.1.1.5.1

総和則では、 $x^{2} - 20 x + 100$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [100]$ です。

$x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [100]) + (x^{2} - 20 x + 100) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (2 x + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [100]) + (x^{2} - 20 x + 100) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.5.3

$- 20$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 20 x$ の微分係数は $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x (2 x - 20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [100]) + (x^{2} - 20 x + 100) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.5.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (2 x - 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [100]) + (x^{2} - 20 x + 100) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.5.5

$- 20$ に $1$ をかけます。

$x (2 x - 20 + \frac{d}{d x} [100]) + (x^{2} - 20 x + 100) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.5.6

$100$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $100$ の微分係数は $0$ です。

$x (2 x - 20 + 0) + (x^{2} - 20 x + 100) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.5.7

$2 x - 20$ と $0$ をたし算します。

$x (2 x - 20) + (x^{2} - 20 x + 100) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.5.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (2 x - 20) + (x^{2} - 20 x + 100) \cdot 1$

ステップ 1.1.1.5.9

$x^{2} - 20 x + 100$ に $1$ をかけます。

$x (2 x - 20) + x^{2} - 20 x + 100$

ステップ 1.1.1.6

簡約します。

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ステップ 1.1.1.6.1

分配則を当てはめます。

$x (2 x) + x \cdot - 20 + x^{2} - 20 x + 100$

ステップ 1.1.1.6.2

項をまとめます。

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ステップ 1.1.1.6.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 (x^{1} x) + x \cdot - 20 + x^{2} - 20 x + 100$

ステップ 1.1.1.6.2.2

$x$ を $1$ 乗します。

$2 (x^{1} x^{1}) + x \cdot - 20 + x^{2} - 20 x + 100$

ステップ 1.1.1.6.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 x^{1 + 1} + x \cdot - 20 + x^{2} - 20 x + 100$

ステップ 1.1.1.6.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 x^{2} + x \cdot - 20 + x^{2} - 20 x + 100$

ステップ 1.1.1.6.2.5

$- 20$ を $x$ の左に移動させます。

$2 x^{2} - 20 \cdot x + x^{2} - 20 x + 100$

ステップ 1.1.1.6.2.6

$2 x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$3 x^{2} - 20 x - 20 x + 100$

ステップ 1.1.1.6.2.7

$- 20 x$ から $20 x$ を引きます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 40 x + 100$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} - 40 x + 100$ です。

$3 x^{2} - 40 x + 100$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} - 40 x + 100 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} - 40 x + 100 = 0$

ステップ 1.2.2

群による因数分解。

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ステップ 1.2.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot 100 = 300$ で和が $b = - 40$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 1.2.2.1.1

$- 40$ を $- 40 x$ で因数分解します。

$3 x^{2} - 40 x + 100 = 0$

ステップ 1.2.2.1.2

$- 40$ を $- 10$ プラス $- 30$ に書き換える

$3 x^{2} + (- 10 - 30) x + 100 = 0$

ステップ 1.2.2.1.3

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} - 10 x - 30 x + 100 = 0$

ステップ 1.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.2.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(3 x^{2} - 10 x) - 30 x + 100 = 0$

ステップ 1.2.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x (3 x - 10) - 10 (3 x - 10) = 0$

ステップ 1.2.2.3

最大公約数 $3 x - 10$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(3 x - 10) (x - 10) = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 x - 10 = 0$

$x - 10 = 0$

ステップ 1.2.4

$3 x - 10$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.4.1

$3 x - 10$ が $0$ に等しいとします。

$3 x - 10 = 0$

ステップ 1.2.4.2

$x$ について $3 x - 10 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.4.2.1

方程式の両辺に $10$ を足します。

$3 x = 10$

ステップ 1.2.4.2.2

$3 x = 10$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.2.1

$3 x = 10$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{10}{3}$

ステップ 1.2.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{10}{3}$

ステップ 1.2.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{10}{3}$

ステップ 1.2.5

$x - 10$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.1

$x - 10$ が $0$ に等しいとします。

$x - 10 = 0$

ステップ 1.2.5.2

方程式の両辺に $10$ を足します。

$x = 10$

ステップ 1.2.6

最終解は $(3 x - 10) (x - 10) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{10}{3}, 10$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x {(x - 10)}^{2}$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = \frac{10}{3}$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$\frac{10}{3}$ を $x$ に代入します。

$(\frac{10}{3}) {((\frac{10}{3}) - 10)}^{2}$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

$- 10$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{10}{3} {(\frac{10}{3} - 10 \cdot \frac{3}{3})}^{2}$

ステップ 1.4.1.2.2

$- 10$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{10}{3} {(\frac{10}{3} + \frac{- 10 \cdot 3}{3})}^{2}$

ステップ 1.4.1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{10}{3} {(\frac{10 - 10 \cdot 3}{3})}^{2}$

ステップ 1.4.1.2.4

分子を簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.4.1

$- 10$ に $3$ をかけます。

$\frac{10}{3} {(\frac{10 - 30}{3})}^{2}$

ステップ 1.4.1.2.4.2

$10$ から $30$ を引きます。

$\frac{10}{3} {(\frac{- 20}{3})}^{2}$

ステップ 1.4.1.2.5

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{10}{3} {(- \frac{20}{3})}^{2}$

ステップ 1.4.1.2.6

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 1.4.1.2.6.1

積の法則を $- \frac{20}{3}$ に当てはめます。

$\frac{10}{3} ({(- 1)}^{2} {(\frac{20}{3})}^{2})$

ステップ 1.4.1.2.6.2

積の法則を $\frac{20}{3}$ に当てはめます。

$\frac{10}{3} ({(- 1)}^{2} \frac{20^{2}}{3^{2}})$

ステップ 1.4.1.2.7

式を簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.7.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\frac{10}{3} (1 \frac{20^{2}}{3^{2}})$

ステップ 1.4.1.2.7.2

$\frac{20^{2}}{3^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{10}{3} \cdot \frac{20^{2}}{3^{2}}$

ステップ 1.4.1.2.8

まとめる。

$\frac{10 \cdot 20^{2}}{3 \cdot 3^{2}}$

ステップ 1.4.1.2.9

指数を足して $3$ に $3^{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.4.1.2.9.1

$3$ に $3^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.9.1.1

$3$ を $1$ 乗します。

$\frac{10 \cdot 20^{2}}{3^{1} \cdot 3^{2}}$

ステップ 1.4.1.2.9.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{10 \cdot 20^{2}}{3^{1 + 2}}$

ステップ 1.4.1.2.9.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{10 \cdot 20^{2}}{3^{3}}$

ステップ 1.4.1.2.10

$20$ を $2$ 乗します。

$\frac{10 \cdot 400}{3^{3}}$

ステップ 1.4.1.2.11

$3$ を $3$ 乗します。

$\frac{10 \cdot 400}{27}$

ステップ 1.4.1.2.12

$10$ に $400$ をかけます。

$\frac{4000}{27}$

ステップ 1.4.2

$x = 10$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.2.1

$10$ を $x$ に代入します。

$(10) {((10) - 10)}^{2}$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1

$10$ から $10$ を引きます。

$10 \cdot 0^{2}$

ステップ 1.4.2.2.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$10 \cdot 0$

ステップ 1.4.2.2.3

$10$ に $0$ をかけます。

$0$

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(\frac{10}{3}, \frac{4000}{27}), (10, 0)$

ステップ 2

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 2.1

$x = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$(0) {((0) - 10)}^{2}$

ステップ 2.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$0$ から $10$ を引きます。

$0 {(- 10)}^{2}$

ステップ 2.1.2.2

$- 10$ を $2$ 乗します。

$0 \cdot 100$

ステップ 2.1.2.3

$0$ に $100$ をかけます。

$0$

ステップ 2.2

$x = 10$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$10$ を $x$ に代入します。

$(10) {((10) - 10)}^{2}$

ステップ 2.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$10$ から $10$ を引きます。

$10 \cdot 0^{2}$

ステップ 2.2.2.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$10 \cdot 0$

ステップ 2.2.2.3

$10$ に $0$ をかけます。

$0$

ステップ 2.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, 0), (10, 0)$

ステップ 3

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(\frac{10}{3}, \frac{4000}{27})$

最小値： $(0, 0), (10, 0)$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例