微分積分例

$f (t) = \frac{t^{2}}{t - 8}$ ; $- 2 \leq t \leq - \frac{1}{4}$

ステップ 1

臨界点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$f (t) = t^{2}$ および $g (t) = t - 8$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(t - 8) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(t - 8) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.2

$2$ を $t - 8$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot (t - 8) t - t^{2} \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.3

総和則では、 $t - 8$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 8]$ です。

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 8])}{{(t - 8)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2} (1 + \frac{d}{d t} [- 8])}{{(t - 8)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.5

$- 8$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 8$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2} (1 + 0)}{{(t - 8)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2} \cdot 1}{{(t - 8)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.6.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 t + 2 \cdot - 8) t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 t \cdot t + 2 \cdot - 8 t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.3.1.1

指数を足して $t$ に $t$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.3.1.1.1

$t$ を移動させます。

$\frac{2 (t \cdot t) + 2 \cdot - 8 t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.3.1.1.2

$t$ に $t$ をかけます。

$\frac{2 t^{2} + 2 \cdot - 8 t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.3.1.2

$2$ に $- 8$ をかけます。

$\frac{2 t^{2} - 16 t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.3.2

$2 t^{2}$ から $t^{2}$ を引きます。

$\frac{t^{2} - 16 t}{{(t - 8)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.4

$t$ を $t^{2} - 16 t$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.4.1

$t$ を $t^{2}$ で因数分解します。

$\frac{t \cdot t - 16 t}{{(t - 8)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.4.2

$t$ を $- 16 t$ で因数分解します。

$\frac{t \cdot t + t \cdot - 16}{{(t - 8)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.4.3

$t$ を $t \cdot t + t \cdot - 16$ で因数分解します。

$f' (t) = \frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

$t$ に関する $f (t)$ の一次導関数は $\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}}$ です。

$\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}}$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}} = 0$

ステップ 1.2.2

分子を0に等しくします。

$t (t - 16) = 0$

ステップ 1.2.3

$t$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$t = 0$

$t - 16 = 0$

ステップ 1.2.3.2

$t$ が $0$ に等しいとします。

$t = 0$

ステップ 1.2.3.3

$t - 16$ を $0$ に等しくし、 $t$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.3.1

$t - 16$ が $0$ に等しいとします。

$t - 16 = 0$

ステップ 1.2.3.3.2

方程式の両辺に $16$ を足します。

$t = 16$

ステップ 1.2.3.4

最終解は $t (t - 16) = 0$ を真にするすべての値です。

$t = 0, 16$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(t - 8)}^{2} = 0$

ステップ 1.3.2

$t$ について解きます。

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ステップ 1.3.2.1

$t - 8$ が $0$ に等しいとします。

$t - 8 = 0$

ステップ 1.3.2.2

方程式の両辺に $8$ を足します。

$t = 8$

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $t$ における $\frac{t^{2}}{t - 8}$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$t = 0$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$0$ を $t$ に代入します。

$\frac{{(0)}^{2}}{(0) - 8}$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{0 - 8}$

ステップ 1.4.1.2.2

$0$ から $8$ を引きます。

$\frac{0}{- 8}$

ステップ 1.4.1.2.3

$0$ を $- 8$ で割ります。

$0$

ステップ 1.4.2

$t = 16$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.2.1

$16$ を $t$ に代入します。

$\frac{{(16)}^{2}}{(16) - 8}$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1

$16$ を $2$ 乗します。

$\frac{256}{16 - 8}$

ステップ 1.4.2.2.2

$16$ から $8$ を引きます。

$\frac{256}{8}$

ステップ 1.4.2.2.3

$256$ を $8$ で割ります。

$32$

ステップ 1.4.3

$t = 8$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1

$8$ を $t$ に代入します。

$\frac{{(8)}^{2}}{(8) - 8}$

ステップ 1.4.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.1

$8$ から $8$ を引きます。

$\frac{{(8)}^{2}}{0}$

ステップ 1.4.3.2.2

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 1.4.4

点のすべてを一覧にします。

$(0, 0), (16, 32)$

ステップ 2

区間上にない点を除外します。

ステップ 3

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 3.1

$t = - 2$ での値を求めます。

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ステップ 3.1.1

$- 2$ を $t$ に代入します。

$\frac{{(- 2)}^{2}}{(- 2) - 8}$

ステップ 3.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$\frac{4}{- 2 - 8}$

ステップ 3.1.2.1.2

$- 2$ から $8$ を引きます。

$\frac{4}{- 10}$

ステップ 3.1.2.2

$4$ と $- 10$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 (2)}{- 10}$

ステップ 3.1.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.2.1

$2$ を $- 10$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 5}$

ステップ 3.1.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 5}$

ステップ 3.1.2.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{- 5}$

ステップ 3.1.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{5}$

ステップ 3.2

$t = - \frac{1}{4}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$- \frac{1}{4}$ を $t$ に代入します。

$\frac{{(- \frac{1}{4})}^{2}}{(- \frac{1}{4}) - 8}$

ステップ 3.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

積の法則を $- \frac{1}{4}$ に当てはめます。

$\frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2}}{- \frac{1}{4} - 8}$

ステップ 3.2.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\frac{1 {(\frac{1}{4})}^{2}}{- \frac{1}{4} - 8}$

ステップ 3.2.2.1.3

積の法則を $\frac{1}{4}$ に当てはめます。

$\frac{1 \frac{1^{2}}{4^{2}}}{- \frac{1}{4} - 8}$

ステップ 3.2.2.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1 \frac{1}{4^{2}}}{- \frac{1}{4} - 8}$

ステップ 3.2.2.1.5

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{1 (\frac{1}{16})}{- \frac{1}{4} - 8}$

ステップ 3.2.2.1.6

$\frac{1}{16}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{1}{16}}{- \frac{1}{4} - 8}$

ステップ 3.2.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.2.1

$- 8$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{\frac{1}{16}}{- \frac{1}{4} - 8 \cdot \frac{4}{4}}$

ステップ 3.2.2.2.2

$- 8$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{\frac{1}{16}}{- \frac{1}{4} + \frac{- 8 \cdot 4}{4}}$

ステップ 3.2.2.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{1}{16}}{\frac{- 1 - 8 \cdot 4}{4}}$

ステップ 3.2.2.2.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.2.4.1

$- 8$ に $4$ をかけます。

$\frac{\frac{1}{16}}{\frac{- 1 - 32}{4}}$

ステップ 3.2.2.2.4.2

$- 1$ から $32$ を引きます。

$\frac{\frac{1}{16}}{\frac{- 33}{4}}$

ステップ 3.2.2.2.5

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\frac{1}{16}}{- \frac{33}{4}}$

ステップ 3.2.2.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{16} (- \frac{4}{33})$

ステップ 3.2.2.4

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.4.1

$- \frac{4}{33}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{1}{16} \cdot \frac{- 4}{33}$

ステップ 3.2.2.4.2

$4$ を $16$ で因数分解します。

$\frac{1}{4 (4)} \cdot \frac{- 4}{33}$

ステップ 3.2.2.4.3

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$\frac{1}{4 \cdot 4} \cdot \frac{4 \cdot - 1}{33}$

ステップ 3.2.2.4.4

共通因数を約分します。

$\frac{1}{4 \cdot 4} \cdot \frac{4 \cdot - 1}{33}$

ステップ 3.2.2.4.5

式を書き換えます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 1}{33}$

ステップ 3.2.2.5

$\frac{1}{4}$ に $\frac{- 1}{33}$ をかけます。

$\frac{- 1}{4 \cdot 33}$

ステップ 3.2.2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.6.1

$4$ に $33$ をかけます。

$\frac{- 1}{132}$

ステップ 3.2.2.6.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{132}$

ステップ 3.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 2, - \frac{2}{5}), (- \frac{1}{4}, - \frac{1}{132})$

ステップ 4

$t$ の各値に対して求めた $f (t)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (t)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (t)$ の値で発生します。

最大値： $(- \frac{1}{4}, - \frac{1}{132})$

最小値： $(- 2, - \frac{2}{5})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例