微分積分例

$f (x) = x^{3} - 5 x - 2$ ; between $2$ and $3$

ステップ 1

臨界点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1.1

総和則では、 $x^{3} - 5 x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.1.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.1.1.2.3

$- 5$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} - 5 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.1.1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.3.1

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} - 5 + 0$

ステップ 1.1.1.3.2

$3 x^{2} - 5$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 5$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} - 5$ です。

$3 x^{2} - 5$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} - 5 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} - 5 = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$3 x^{2} = 5$

ステップ 1.2.3

$3 x^{2} = 5$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$3 x^{2} = 5$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{5}{3}$

ステップ 1.2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{5}{3}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{5}{3}$

ステップ 1.2.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{\frac{5}{3}}$

ステップ 1.2.5

$\pm \sqrt{\frac{5}{3}}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.5.1

$\sqrt{\frac{5}{3}}$ を $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$

ステップ 1.2.5.2

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

ステップ 1.2.5.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 1.2.5.3.1

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 1.2.5.3.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

ステップ 1.2.5.3.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

ステップ 1.2.5.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 1.2.5.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 1.2.5.3.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 1.2.5.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 1.2.5.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 1.2.5.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.2.5.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.5.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.2.5.3.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{1}}$

ステップ 1.2.5.3.6.5

指数を求めます。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3}$

ステップ 1.2.5.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.4.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$x = \pm \frac{\sqrt{5 \cdot 3}}{3}$

ステップ 1.2.5.4.2

$5$ に $3$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{15}}{3}$

ステップ 1.2.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 1.2.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{\sqrt{15}}{3}$

ステップ 1.2.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{\sqrt{15}}{3}$

ステップ 1.2.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{\sqrt{15}}{3}, - \frac{\sqrt{15}}{3}$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{3} - 5 x - 2$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = \frac{\sqrt{15}}{3}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$\frac{\sqrt{15}}{3}$ を $x$ に代入します。

${(\frac{\sqrt{15}}{3})}^{3} - 5 \frac{\sqrt{15}}{3} - 2$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.1

積の法則を $\frac{\sqrt{15}}{3}$ に当てはめます。

$\frac{{\sqrt{15}}^{3}}{3^{3}} - 5 \frac{\sqrt{15}}{3} - 2$

ステップ 1.4.1.2.1.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.2.1

${\sqrt{15}}^{3}$ を $\sqrt{15^{3}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{15^{3}}}{3^{3}} - 5 \frac{\sqrt{15}}{3} - 2$

ステップ 1.4.1.2.1.2.2

$15$ を $3$ 乗します。

$\frac{\sqrt{3375}}{3^{3}} - 5 \frac{\sqrt{15}}{3} - 2$

ステップ 1.4.1.2.1.2.3

$3375$ を $15^{2} \cdot 15$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.2.3.1

$225$ を $3375$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{225 (15)}}{3^{3}} - 5 \frac{\sqrt{15}}{3} - 2$

ステップ 1.4.1.2.1.2.3.2

$225$ を $15^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{15^{2} \cdot 15}}{3^{3}} - 5 \frac{\sqrt{15}}{3} - 2$

ステップ 1.4.1.2.1.2.4

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{15 \sqrt{15}}{3^{3}} - 5 \frac{\sqrt{15}}{3} - 2$

ステップ 1.4.1.2.1.3

$3$ を $3$ 乗します。

$\frac{15 \sqrt{15}}{27} - 5 \frac{\sqrt{15}}{3} - 2$

ステップ 1.4.1.2.1.4

$15$ と $27$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.4.1

$3$ を $15 \sqrt{15}$ で因数分解します。

$\frac{3 (5 \sqrt{15})}{27} - 5 \frac{\sqrt{15}}{3} - 2$

ステップ 1.4.1.2.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.4.2.1

$3$ を $27$ で因数分解します。

$\frac{3 (5 \sqrt{15})}{3 (9)} - 5 \frac{\sqrt{15}}{3} - 2$

ステップ 1.4.1.2.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (5 \sqrt{15})}{3 \cdot 9} - 5 \frac{\sqrt{15}}{3} - 2$

ステップ 1.4.1.2.1.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{5 \sqrt{15}}{9} - 5 \frac{\sqrt{15}}{3} - 2$

ステップ 1.4.1.2.1.5

$- 5$ と $\frac{\sqrt{15}}{3}$ をまとめます。

$\frac{5 \sqrt{15}}{9} + \frac{- 5 \sqrt{15}}{3} - 2$

ステップ 1.4.1.2.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{5 \sqrt{15}}{9} - \frac{5 \sqrt{15}}{3} - 2$

ステップ 1.4.1.2.2

$- \frac{5 \sqrt{15}}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{5 \sqrt{15}}{9} - \frac{5 \sqrt{15}}{3} \cdot \frac{3}{3} - 2$

ステップ 1.4.1.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $9$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.3.1

$\frac{5 \sqrt{15}}{3}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{5 \sqrt{15}}{9} - \frac{5 \sqrt{15} \cdot 3}{3 \cdot 3} - 2$

ステップ 1.4.1.2.3.2

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{5 \sqrt{15}}{9} - \frac{5 \sqrt{15} \cdot 3}{9} - 2$

ステップ 1.4.1.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{5 \sqrt{15} - 5 \sqrt{15} \cdot 3}{9} - 2$

ステップ 1.4.1.2.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.5.1.1

$3$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{5 \sqrt{15} - 15 \sqrt{15}}{9} - 2$

ステップ 1.4.1.2.5.1.2

$5 \sqrt{15}$ から $15 \sqrt{15}$ を引きます。

$\frac{- 10 \sqrt{15}}{9} - 2$

ステップ 1.4.1.2.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{10 \sqrt{15}}{9} - 2$

ステップ 1.4.2

$x = - \frac{\sqrt{15}}{3}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$- \frac{\sqrt{15}}{3}$ を $x$ に代入します。

${(- \frac{\sqrt{15}}{3})}^{3} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3}) - 2$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{\sqrt{15}}{3}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{15}}{3})}^{3} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3}) - 2$

ステップ 1.4.2.2.1.1.2

積の法則を $\frac{\sqrt{15}}{3}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{15}}^{3}}{3^{3}} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3}) - 2$

ステップ 1.4.2.2.1.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$- \frac{{\sqrt{15}}^{3}}{3^{3}} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3}) - 2$

ステップ 1.4.2.2.1.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.3.1

${\sqrt{15}}^{3}$ を $\sqrt{15^{3}}$ に書き換えます。

$- \frac{\sqrt{15^{3}}}{3^{3}} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3}) - 2$

ステップ 1.4.2.2.1.3.2

$15$ を $3$ 乗します。

$- \frac{\sqrt{3375}}{3^{3}} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3}) - 2$

ステップ 1.4.2.2.1.3.3

$3375$ を $15^{2} \cdot 15$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.3.3.1

$225$ を $3375$ で因数分解します。

$- \frac{\sqrt{225 (15)}}{3^{3}} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3}) - 2$

ステップ 1.4.2.2.1.3.3.2

$225$ を $15^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{\sqrt{15^{2} \cdot 15}}{3^{3}} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3}) - 2$

ステップ 1.4.2.2.1.3.4

累乗根の下から項を取り出します。

$- \frac{15 \sqrt{15}}{3^{3}} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3}) - 2$

ステップ 1.4.2.2.1.4

$3$ を $3$ 乗します。

$- \frac{15 \sqrt{15}}{27} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3}) - 2$

ステップ 1.4.2.2.1.5

$15$ と $27$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.5.1

$3$ を $15 \sqrt{15}$ で因数分解します。

$- \frac{3 (5 \sqrt{15})}{27} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3}) - 2$

ステップ 1.4.2.2.1.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.5.2.1

$3$ を $27$ で因数分解します。

$- \frac{3 (5 \sqrt{15})}{3 (9)} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3}) - 2$

ステップ 1.4.2.2.1.5.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{3 (5 \sqrt{15})}{3 \cdot 9} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3}) - 2$

ステップ 1.4.2.2.1.5.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{5 \sqrt{15}}{9} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3}) - 2$

ステップ 1.4.2.2.1.6

$- 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.6.1

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$- \frac{5 \sqrt{15}}{9} + 5 \frac{\sqrt{15}}{3} - 2$

ステップ 1.4.2.2.1.6.2

$5$ と $\frac{\sqrt{15}}{3}$ をまとめます。

$- \frac{5 \sqrt{15}}{9} + \frac{5 \sqrt{15}}{3} - 2$

ステップ 1.4.2.2.2

$\frac{5 \sqrt{15}}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$- \frac{5 \sqrt{15}}{9} + \frac{5 \sqrt{15}}{3} \cdot \frac{3}{3} - 2$

ステップ 1.4.2.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $9$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.3.1

$\frac{5 \sqrt{15}}{3}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$- \frac{5 \sqrt{15}}{9} + \frac{5 \sqrt{15} \cdot 3}{3 \cdot 3} - 2$

ステップ 1.4.2.2.3.2

$3$ に $3$ をかけます。

$- \frac{5 \sqrt{15}}{9} + \frac{5 \sqrt{15} \cdot 3}{9} - 2$

ステップ 1.4.2.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 5 \sqrt{15} + 5 \sqrt{15} \cdot 3}{9} - 2$

ステップ 1.4.2.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.5.1

$3$ に $5$ をかけます。

$\frac{- 5 \sqrt{15} + 15 \sqrt{15}}{9} - 2$

ステップ 1.4.2.2.5.2

$- 5 \sqrt{15}$ と $15 \sqrt{15}$ をたし算します。

$\frac{10 \sqrt{15}}{9} - 2$

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(\frac{\sqrt{15}}{3}, - \frac{10 \sqrt{15}}{9} - 2), (- \frac{\sqrt{15}}{3}, \frac{10 \sqrt{15}}{9} - 2)$

ステップ 2

区間上にない点を除外します。

ステップ 3

含まれる端点における値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x = 2$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$2$ を $x$ に代入します。

${(2)}^{3} - 5 \cdot 2 - 2$

ステップ 3.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

$2$ を $3$ 乗します。

$8 - 5 \cdot 2 - 2$

ステップ 3.1.2.1.2

$- 5$ に $2$ をかけます。

$8 - 10 - 2$

ステップ 3.1.2.2

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

$8$ から $10$ を引きます。

$- 2 - 2$

ステップ 3.1.2.2.2

$- 2$ から $2$ を引きます。

$- 4$

ステップ 3.2

$x = 3$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$3$ を $x$ に代入します。

${(3)}^{3} - 5 \cdot 3 - 2$

ステップ 3.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$3$ を $3$ 乗します。

$27 - 5 \cdot 3 - 2$

ステップ 3.2.2.1.2

$- 5$ に $3$ をかけます。

$27 - 15 - 2$

ステップ 3.2.2.2

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.2.1

$27$ から $15$ を引きます。

$12 - 2$

ステップ 3.2.2.2.2

$12$ から $2$ を引きます。

$10$

ステップ 3.3

点のすべてを一覧にします。

$(2, - 4), (3, 10)$

ステップ 4

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(3, 10)$

最小値： $(2, - 4)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例