微分積分例

$r (t) = t^{4} + 6 t^{2} - 2$ , $[1, 4]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1.1

総和則では、 $t^{4} + 6 t^{2} - 2$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [6 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [6 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 2]$

ステップ 1.1.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 t^{3} + \frac{d}{d t} [6 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 2]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d t} [6 t^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

$6$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $6 t^{2}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$4 t^{3} + 6 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 2]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 t^{3} + 6 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 2]$

ステップ 1.1.1.2.3

$2$ に $6$ をかけます。

$4 t^{3} + 12 t + \frac{d}{d t} [- 2]$

ステップ 1.1.1.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.1

$- 2$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$4 t^{3} + 12 t + 0$

ステップ 1.1.1.3.2

$4 t^{3} + 12 t$ と $0$ をたし算します。

$f' (t) = 4 t^{3} + 12 t$

ステップ 1.1.2

$t$ に関する $r (t)$ の一次導関数は $4 t^{3} + 12 t$ です。

$4 t^{3} + 12 t$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 t^{3} + 12 t = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 t^{3} + 12 t = 0$

ステップ 1.2.2

$4 t$ を $4 t^{3} + 12 t$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$4 t$ を $4 t^{3}$ で因数分解します。

$4 t (t^{2}) + 12 t = 0$

ステップ 1.2.2.2

$4 t$ を $12 t$ で因数分解します。

$4 t (t^{2}) + 4 t (3) = 0$

ステップ 1.2.2.3

$4 t$ を $4 t (t^{2}) + 4 t (3)$ で因数分解します。

$4 t (t^{2} + 3) = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$t = 0$

$t^{2} + 3 = 0$

ステップ 1.2.4

$t$ が $0$ に等しいとします。

$t = 0$

ステップ 1.2.5

$t^{2} + 3$ を $0$ に等しくし、 $t$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

$t^{2} + 3$ が $0$ に等しいとします。

$t^{2} + 3 = 0$

ステップ 1.2.5.2

$t$ について $t^{2} + 3 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$t^{2} = - 3$

ステップ 1.2.5.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$t = \pm \sqrt{- 3}$

ステップ 1.2.5.2.3

$\pm \sqrt{- 3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.3.1

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$t = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

ステップ 1.2.5.2.3.2

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$t = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

ステップ 1.2.5.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$t = \pm i \sqrt{3}$

ステップ 1.2.5.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$t = i \sqrt{3}$

ステップ 1.2.5.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$t = - i \sqrt{3}$

ステップ 1.2.5.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$t = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

ステップ 1.2.6

最終解は $4 t (t^{2} + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$t = 0, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $t$ における $t^{4} + 6 t^{2} - 2$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$t = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$0$ を $t$ に代入します。

${(0)}^{4} + 6 {(0)}^{2} - 2$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + 6 {(0)}^{2} - 2$

ステップ 1.4.1.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + 6 \cdot 0 - 2$

ステップ 1.4.1.2.1.3

$6$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 - 2$

ステップ 1.4.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 - 2$

ステップ 1.4.1.2.2.2

$0$ から $2$ を引きます。

$- 2$

ステップ 1.4.2

点のすべてを一覧にします。

$(0, - 2)$

ステップ 2

区間上にない点を除外します。

ステップ 3

含まれる端点における値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$t = 1$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$1$ を $t$ に代入します。

${(1)}^{4} + 6 {(1)}^{2} - 2$

ステップ 3.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 6 {(1)}^{2} - 2$

ステップ 3.1.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 6 \cdot 1 - 2$

ステップ 3.1.2.1.3

$6$ に $1$ をかけます。

$1 + 6 - 2$

ステップ 3.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

$1$ と $6$ をたし算します。

$7 - 2$

ステップ 3.1.2.2.2

$7$ から $2$ を引きます。

$5$

ステップ 3.2

$t = 4$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$4$ を $t$ に代入します。

${(4)}^{4} + 6 {(4)}^{2} - 2$

ステップ 3.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$4$ を $4$ 乗します。

$256 + 6 {(4)}^{2} - 2$

ステップ 3.2.2.1.2

$4$ を $2$ 乗します。

$256 + 6 \cdot 16 - 2$

ステップ 3.2.2.1.3

$6$ に $16$ をかけます。

$256 + 96 - 2$

ステップ 3.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.2.1

$256$ と $96$ をたし算します。

$352 - 2$

ステップ 3.2.2.2.2

$352$ から $2$ を引きます。

$350$

ステップ 3.3

点のすべてを一覧にします。

$(1, 5), (4, 350)$

ステップ 4

$t$ の各値に対して求めた $r (t)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $r (t)$ の値で発生し、最小値は最も低い $r (t)$ の値で発生します。

最大値： $(4, 350)$

最小値： $(1, 5)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例