微分積分例

$f (x) = \frac{2}{x^{4} - 16}$ on interval $- 1$ , $1.5$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.1.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2}{x^{4} - 16}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$

ステップ 1.1.1.1.2

$\frac{1}{x^{4} - 16}$ を ${(x^{4} - 16)}^{- 1}$ に書き換えます。

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{4} - 16)}^{- 1}]$

ステップ 1.1.1.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{4} - 16$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{4} - 16$ とします。

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

ステップ 1.1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{4} - 16$ で置き換えます。

$2 (- {(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

ステップ 1.1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.1.3.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 ({(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

ステップ 1.1.1.3.2

総和則では、 $x^{4} - 16$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ です。

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16])$

ステップ 1.1.1.3.3

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16])$

ステップ 1.1.1.3.4

$- 16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 16$ の微分係数は $0$ です。

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + 0)$

ステップ 1.1.1.3.5

式を簡約します。

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ステップ 1.1.1.3.5.1

$4 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3})$

ステップ 1.1.1.3.5.2

$4$ に $- 2$ をかけます。

$- 8 {(x^{4} - 16)}^{- 2} x^{3}$

ステップ 1.1.1.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 8 \frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

ステップ 1.1.1.5

項をまとめます。

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ステップ 1.1.1.5.1

$- 8$ と $\frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

ステップ 1.1.1.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

ステップ 1.1.1.5.3

$x^{3}$ と $\frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{x^{3} \cdot 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.5.4

$8$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$f' (x) = - \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ です。

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$

ステップ 1.2.2

分子を0に等しくします。

$8 x^{3} = 0$

ステップ 1.2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 1.2.3.1

$8 x^{3} = 0$ の各項を $8$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.3.1.1

$8 x^{3} = 0$ の各項を $8$ で割ります。

$\frac{8 x^{3}}{8} = \frac{0}{8}$

ステップ 1.2.3.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1.2.1

$8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{8 x^{3}}{8} = \frac{0}{8}$

ステップ 1.2.3.1.2.1.2

$x^{3}$ を $1$ で割ります。

$x^{3} = \frac{0}{8}$

ステップ 1.2.3.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1.3.1

$0$ を $8$ で割ります。

$x^{3} = 0$

ステップ 1.2.3.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \sqrt[3]{0}$

ステップ 1.2.3.3

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.3.3.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 1.2.3.3.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$\frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x^{4} - 16)}^{2} = 0$

ステップ 1.3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 1.3.2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.3.2.1.1

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

${({(x^{2})}^{2} - 16)}^{2} = 0$

ステップ 1.3.2.1.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

${({(x^{2})}^{2} - 4^{2})}^{2} = 0$

ステップ 1.3.2.1.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x^{2}$ であり、 $b = 4$ です。

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 4))}^{2} = 0$

ステップ 1.3.2.1.4

簡約します。

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ステップ 1.3.2.1.4.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}))}^{2} = 0$

ステップ 1.3.2.1.4.2

因数分解。

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ステップ 1.3.2.1.4.2.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

${((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)))}^{2} = 0$

ステップ 1.3.2.1.4.2.2

不要な括弧を削除します。

${((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

ステップ 1.3.2.1.5

積の法則を $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ に当てはめます。

${((x^{2} + 4) (x + 2))}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 1.3.2.1.6

積の法則を $(x^{2} + 4) (x + 2)$ に当てはめます。

${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 1.3.2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 1.3.2.3

${(x^{2} + 4)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.3.2.3.1

${(x^{2} + 4)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

ステップ 1.3.2.3.2

$x$ について ${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.3.2.1

$x^{2} + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 4 = 0$

ステップ 1.3.2.3.2.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.3.2.2.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x^{2} = - 4$

ステップ 1.3.2.3.2.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- 4}$

ステップ 1.3.2.3.2.2.3

$\pm \sqrt{- 4}$ を簡約します。

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ステップ 1.3.2.3.2.2.3.1

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

ステップ 1.3.2.3.2.2.3.2

$\sqrt{- 1 (4)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

ステップ 1.3.2.3.2.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

ステップ 1.3.2.3.2.2.3.4

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

ステップ 1.3.2.3.2.2.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \cdot 2$

ステップ 1.3.2.3.2.2.3.6

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \pm 2 i$

ステップ 1.3.2.3.2.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 1.3.2.3.2.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2 i$

ステップ 1.3.2.3.2.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2 i$

ステップ 1.3.2.3.2.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2 i, - 2 i$

ステップ 1.3.2.4

${(x + 2)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.3.2.4.1

${(x + 2)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x + 2)}^{2} = 0$

ステップ 1.3.2.4.2

$x$ について ${(x + 2)}^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.3.2.4.2.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 1.3.2.4.2.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 1.3.2.5

${(x - 2)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.5.1

${(x - 2)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 1.3.2.5.2

$x$ について ${(x - 2)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.5.2.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 1.3.2.5.2.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 1.3.2.6

最終解は ${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2 i, - 2 i, - 2, 2$

ステップ 1.3.3

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x = - 2, x = 2$

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{2}{x^{4} - 16}$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$\frac{2}{{(0)}^{4} - 16}$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{2}{0 - 16}$

ステップ 1.4.1.2.1.2

$0$ から $16$ を引きます。

$\frac{2}{- 16}$

ステップ 1.4.1.2.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 1.4.1.2.2.1

$2$ と $- 16$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1.2.2.1.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (1)}{- 16}$

ステップ 1.4.1.2.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1.2.2.1.2.1

$2$ を $- 16$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 8}$

ステップ 1.4.1.2.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 8}$

ステップ 1.4.1.2.2.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{- 8}$

ステップ 1.4.1.2.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{8}$

ステップ 1.4.2

$x = - 2$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.2.1

$- 2$ を $x$ に代入します。

$\frac{2}{{(- 2)}^{4} - 16}$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1

$- 2$ を $4$ 乗します。

$\frac{2}{16 - 16}$

ステップ 1.4.2.2.2

$16$ から $16$ を引きます。

$\frac{2}{0}$

ステップ 1.4.2.2.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 1.4.3

$x = 2$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.3.1

$2$ を $x$ に代入します。

$\frac{2}{{(2)}^{4} - 16}$

ステップ 1.4.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.1

$2$ を $4$ 乗します。

$\frac{2}{16 - 16}$

ステップ 1.4.3.2.2

$16$ から $16$ を引きます。

$\frac{2}{0}$

ステップ 1.4.3.2.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 1.4.4

点のすべてを一覧にします。

$(0, - \frac{1}{8})$

ステップ 2

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 2.1

$x = - 1$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$- 1$ を $x$ に代入します。

$\frac{2}{{(- 1)}^{4} - 16}$

ステップ 2.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

$- 1$ を $4$ 乗します。

$\frac{2}{1 - 16}$

ステップ 2.1.2.1.2

$1$ から $16$ を引きます。

$\frac{2}{- 15}$

ステップ 2.1.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{15}$

ステップ 2.2

$x = 1.5$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$1.5$ を $x$ に代入します。

$\frac{2}{{(1.5)}^{4} - 16}$

ステップ 2.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

$1.5$ を $4$ 乗します。

$\frac{2}{5.0625 - 16}$

ステップ 2.2.2.1.2

$5.0625$ から $16$ を引きます。

$\frac{2}{- 10.9375}$

ステップ 2.2.2.2

$2$ を $- 10.9375$ で割ります。

$- 0.18285714$

ステップ 2.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 1, - \frac{2}{15}), (1.5, - 0.18285714)$

ステップ 3

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(0, - \frac{1}{8})$

最小値： $(1.5, - 0.18285714)$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例