微分積分例

$F (θ) = \sin (θ + \frac{π}{2})$ , $0 \leq θ \leq \frac{7 π}{4}$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

$f (θ) = \sin (θ)$ および $g (θ) = θ + \frac{π}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ は $f' (g (θ)) g' (θ)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $θ + \frac{π}{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d θ} [θ + \frac{π}{2}]$

ステップ 1.1.1.1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$\cos (u) \frac{d}{d θ} [θ + \frac{π}{2}]$

ステップ 1.1.1.1.3

$u$ のすべての発生を $θ + \frac{π}{2}$ で置き換えます。

$\cos (θ + \frac{π}{2}) \frac{d}{d θ} [θ + \frac{π}{2}]$

ステップ 1.1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.1.2.1

総和則では、 $θ + \frac{π}{2}$ の $θ$ に関する積分は $\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [\frac{π}{2}]$ です。

$\cos (θ + \frac{π}{2}) (\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [\frac{π}{2}])$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ は $n θ^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (θ + \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d θ} [\frac{π}{2}])$

ステップ 1.1.1.2.3

$\frac{π}{2}$ は $θ$ について定数なので、 $θ$ について $\frac{π}{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\cos (θ + \frac{π}{2}) (1 + 0)$

ステップ 1.1.1.2.4

式を簡約します。

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ステップ 1.1.1.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\cos (θ + \frac{π}{2}) \cdot 1$

ステップ 1.1.1.2.4.2

$\cos (θ + \frac{π}{2})$ に $1$ をかけます。

$f' (θ) = \cos (θ + \frac{π}{2})$

ステップ 1.1.2

$θ$ に関する $F (θ)$ の一次導関数は $\cos (θ + \frac{π}{2})$ です。

$\cos (θ + \frac{π}{2})$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\cos (θ + \frac{π}{2}) = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\cos (θ + \frac{π}{2}) = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $θ$ を取り出します。

$θ + \frac{π}{2} = \arccos (0)$

ステップ 1.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$θ + \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$

ステップ 1.2.4

$θ$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.2.4.1

方程式の両辺から $\frac{π}{2}$ を引きます。

$θ = \frac{π}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 1.2.4.2

公分母の分子をまとめます。

$θ = \frac{π - π}{2}$

ステップ 1.2.4.3

$π$ から $π$ を引きます。

$θ = \frac{0}{2}$

ステップ 1.2.4.4

$0$ を $2$ で割ります。

$θ = 0$

ステップ 1.2.5

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$θ + \frac{π}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 1.2.6

$θ$ について解きます。

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ステップ 1.2.6.1

$2 π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.6.1.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$θ + \frac{π}{2} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 1.2.6.1.2

分数をまとめます。

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ステップ 1.2.6.1.2.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$θ + \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 1.2.6.1.2.2

公分母の分子をまとめます。

$θ + \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 1.2.6.1.3

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.6.1.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$θ + \frac{π}{2} = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 1.2.6.1.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$θ + \frac{π}{2} = \frac{3 π}{2}$

ステップ 1.2.6.2

$θ$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.2.6.2.1

方程式の両辺から $\frac{π}{2}$ を引きます。

$θ = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 1.2.6.2.2

公分母の分子をまとめます。

$θ = \frac{3 π - π}{2}$

ステップ 1.2.6.2.3

$3 π$ から $π$ を引きます。

$θ = \frac{2 π}{2}$

ステップ 1.2.6.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.6.2.4.1

共通因数を約分します。

$θ = \frac{2 π}{2}$

ステップ 1.2.6.2.4.2

$π$ を $1$ で割ります。

$θ = π$

ステップ 1.2.7

$\cos (θ + \frac{π}{2})$ の周期を求めます。

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ステップ 1.2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 1.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 1.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 1.2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 1.2.8

$\cos (θ + \frac{π}{2})$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.2.9

答えをまとめます。

$θ = π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $θ$ における $\sin (θ + \frac{π}{2})$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$θ = 0$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$0$ を $θ$ に代入します。

$\sin ((0) + \frac{π}{2})$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

$0$ と $\frac{π}{2}$ をたし算します。

$\sin (\frac{π}{2})$

ステップ 1.4.1.2.2

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$1$

ステップ 1.4.2

$θ = π$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.2.1

$π$ を $θ$ に代入します。

$\sin ((π) + \frac{π}{2})$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

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ステップ 1.4.2.2.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\sin (π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

ステップ 1.4.2.2.2

分数をまとめます。

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ステップ 1.4.2.2.2.1

$π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\sin (\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

ステップ 1.4.2.2.2.2

公分母の分子をまとめます。

$\sin (\frac{π \cdot 2 + π}{2})$

ステップ 1.4.2.2.3

分子を簡約します。

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ステップ 1.4.2.2.3.1

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$\sin (\frac{2 \cdot π + π}{2})$

ステップ 1.4.2.2.3.2

$2 π$ と $π$ をたし算します。

$\sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 1.4.2.2.4

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$- \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 1.4.2.2.5

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 1.4.2.2.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(0 + 2 π n, 1), (π + 2 π n, - 1)$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2

区間上にない点を除外します。

$(0, 1), (π, - 1)$

ステップ 3

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 3.1

$θ = 0$ での値を求めます。

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ステップ 3.1.1

$0$ を $θ$ に代入します。

$\sin ((0) + \frac{π}{2})$

ステップ 3.1.2

簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

$0$ と $\frac{π}{2}$ をたし算します。

$\sin (\frac{π}{2})$

ステップ 3.1.2.2

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$1$

ステップ 3.2

$θ = \frac{7 π}{4}$ での値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$\frac{7 π}{4}$ を $θ$ に代入します。

$\sin ((\frac{7 π}{4}) + \frac{π}{2})$

ステップ 3.2.2

簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$\frac{π}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\sin (\frac{7 π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2})$

ステップ 3.2.2.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.2.2.2.1

$\frac{π}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\sin (\frac{7 π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2})$

ステップ 3.2.2.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\sin (\frac{7 π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4})$

ステップ 3.2.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\sin (\frac{7 π + π \cdot 2}{4})$

ステップ 3.2.2.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.2.2.4.1

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$\sin (\frac{7 π + 2 \cdot π}{4})$

ステップ 3.2.2.4.2

$7 π$ と $2 π$ をたし算します。

$\sin (\frac{9 π}{4})$

ステップ 3.2.2.5

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\sin (\frac{π}{4})$

ステップ 3.2.2.6

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, 1), (\frac{7 π}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 4

$θ$ の各値に対して求めた $F (θ)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $F (θ)$ の値で発生し、最小値は最も低い $F (θ)$ の値で発生します。

最大値： $(0, 1)$

最小値： $(π, - 1)$

ステップ 5

微分積分 例

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