微分積分例

$3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2} + 5$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2} + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{4}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.2.3

$4$ に $3$ をかけます。

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$12 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.3.3

$3$ に $4$ をかけます。

$12 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x^{2}$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.4.3

$2$ に $- 12$ をかけます。

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.5

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x + 0$

ステップ 1.5.2

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x$ と $0$ をたし算します。

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $12 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x^{3}$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

ステップ 2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

ステップ 2.2.3

$3$ に $12$ をかけます。

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x^{2}$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 36 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 36 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

ステップ 2.3.3

$2$ に $12$ をかけます。

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [- 24 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$- 24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 24 x$ の微分係数は $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 24 \frac{d}{d x} x$

ステップ 2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 24 \cdot 1$

ステップ 2.4.3

$- 24$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 24$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

総和則では、 $3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2} + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{4}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 4.1.2.3

$4$ に $3$ をかけます。

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$12 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 4.1.3.3

$3$ に $4$ をかけます。

$12 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 4.1.4

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x^{2}$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 4.1.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 4.1.4.3

$2$ に $- 12$ をかけます。

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 4.1.5

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x + 0$

ステップ 4.1.5.2

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 12 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $12 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x$ です。

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $12 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x = 0$

ステップ 5.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$12 x$ を $12 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$12 x$ を $12 x^{3}$ で因数分解します。

$12 x (x^{2}) + 12 x^{2} - 24 x = 0$

ステップ 5.2.1.2

$12 x$ を $12 x^{2}$ で因数分解します。

$12 x (x^{2}) + 12 x (x) - 24 x = 0$

ステップ 5.2.1.3

$12 x$ を $- 24 x$ で因数分解します。

$12 x (x^{2}) + 12 x (x) + 12 x (- 2) = 0$

ステップ 5.2.1.4

$12 x$ を $12 x (x^{2}) + 12 x (x)$ で因数分解します。

$12 x (x^{2} + x) + 12 x (- 2) = 0$

ステップ 5.2.1.5

$12 x$ を $12 x (x^{2} + x) + 12 x (- 2)$ で因数分解します。

$12 x (x^{2} + x - 2) = 0$

ステップ 5.2.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + x - 2$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 2$ で、その和が $1$ です。

$- 1, 2$

ステップ 5.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$12 x ((x - 1) (x + 2)) = 0$

ステップ 5.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$12 x (x - 1) (x + 2) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

ステップ 5.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 5.5

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 5.5.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 5.6

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 5.6.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 5.7

最終解は $12 x (x - 1) (x + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 1, - 2$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0, 1, - 2$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$36 {(0)}^{2} + 24 (0) - 24$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$36 \cdot 0 + 24 (0) - 24$

ステップ 9.1.2

$36$ に $0$ をかけます。

$0 + 24 (0) - 24$

ステップ 9.1.3

$24$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 - 24$

ステップ 9.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 - 24$

ステップ 9.2.2

$0$ から $24$ を引きます。

$- 24$

ステップ 10

$x = 0$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極大値です

ステップ 11

$x = 0$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = 3 {(0)}^{4} + 4 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} + 5$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 3 \cdot 0 + 4 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} + 5$

ステップ 11.2.1.2

$3$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 4 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} + 5$

ステップ 11.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 + 4 \cdot 0 - 12 {(0)}^{2} + 5$

ステップ 11.2.1.4

$4$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 - 12 {(0)}^{2} + 5$

ステップ 11.2.1.5

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 + 0 - 12 \cdot 0 + 5$

ステップ 11.2.1.6

$- 12$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 5$

ステップ 11.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 + 0 + 5$

ステップ 11.2.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 + 5$

ステップ 11.2.2.3

$0$ と $5$ をたし算します。

$f (0) = 5$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $5$ です。

$y = 5$

ステップ 12

$x = 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$36 {(1)}^{2} + 24 (1) - 24$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$36 \cdot 1 + 24 (1) - 24$

ステップ 13.1.2

$36$ に $1$ をかけます。

$36 + 24 (1) - 24$

ステップ 13.1.3

$24$ に $1$ をかけます。

$36 + 24 - 24$

ステップ 13.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1

$36$ と $24$ をたし算します。

$60 - 24$

ステップ 13.2.2

$60$ から $24$ を引きます。

$36$

ステップ 14

$x = 1$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 1$ は極小値です

ステップ 15

$x = 1$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = 3 {(1)}^{4} + 4 {(1)}^{3} - 12 {(1)}^{2} + 5$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 3 \cdot 1 + 4 {(1)}^{3} - 12 {(1)}^{2} + 5$

ステップ 15.2.1.2

$3$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 3 + 4 {(1)}^{3} - 12 {(1)}^{2} + 5$

ステップ 15.2.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 3 + 4 \cdot 1 - 12 {(1)}^{2} + 5$

ステップ 15.2.1.4

$4$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 3 + 4 - 12 {(1)}^{2} + 5$

ステップ 15.2.1.5

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 3 + 4 - 12 \cdot 1 + 5$

ステップ 15.2.1.6

$- 12$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 3 + 4 - 12 + 5$

ステップ 15.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.1

$3$ と $4$ をたし算します。

$f (1) = 7 - 12 + 5$

ステップ 15.2.2.2

$7$ から $12$ を引きます。

$f (1) = - 5 + 5$

ステップ 15.2.2.3

$- 5$ と $5$ をたし算します。

$f (1) = 0$

ステップ 15.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$y = 0$

ステップ 16

$x = - 2$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$36 {(- 2)}^{2} + 24 (- 2) - 24$

ステップ 17

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$36 \cdot 4 + 24 (- 2) - 24$

ステップ 17.1.2

$36$ に $4$ をかけます。

$144 + 24 (- 2) - 24$

ステップ 17.1.3

$24$ に $- 2$ をかけます。

$144 - 48 - 24$

ステップ 17.2

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.1

$144$ から $48$ を引きます。

$96 - 24$

ステップ 17.2.2

$96$ から $24$ を引きます。

$72$

ステップ 18

$x = - 2$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 2$ は極小値です

ステップ 19

$x = - 2$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f (- 2) = 3 {(- 2)}^{4} + 4 {(- 2)}^{3} - 12 {(- 2)}^{2} + 5$

ステップ 19.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.1

$- 2$ を $4$ 乗します。

$f (- 2) = 3 \cdot 16 + 4 {(- 2)}^{3} - 12 {(- 2)}^{2} + 5$

ステップ 19.2.1.2

$3$ に $16$ をかけます。

$f (- 2) = 48 + 4 {(- 2)}^{3} - 12 {(- 2)}^{2} + 5$

ステップ 19.2.1.3

$- 2$ を $3$ 乗します。

$f (- 2) = 48 + 4 \cdot - 8 - 12 {(- 2)}^{2} + 5$

ステップ 19.2.1.4

$4$ に $- 8$ をかけます。

$f (- 2) = 48 - 32 - 12 {(- 2)}^{2} + 5$

ステップ 19.2.1.5

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f (- 2) = 48 - 32 - 12 \cdot 4 + 5$

ステップ 19.2.1.6

$- 12$ に $4$ をかけます。

$f (- 2) = 48 - 32 - 48 + 5$

ステップ 19.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.2.1

$48$ から $32$ を引きます。

$f (- 2) = 16 - 48 + 5$

ステップ 19.2.2.2

$16$ から $48$ を引きます。

$f (- 2) = - 32 + 5$

ステップ 19.2.2.3

$- 32$ と $5$ をたし算します。

$f (- 2) = - 27$

ステップ 19.2.3

最終的な答えは $- 27$ です。

$y = - 27$

ステップ 20

$f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2} + 5$ の極値です。

$(0, 5)$ は極大値です

$(1, 0)$ は極小値です

$(- 2, - 27)$ は極小値です

ステップ 21

微分積分 例

微分積分例