微分積分例

$p = \frac{1}{12} x^{2} - 14 x + 588$ , $0 \leq x \leq 84$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $\frac{1}{12} x^{2} - 14 x + 588$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x] + \frac{d}{d x} [588]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x] + \frac{d}{d x} [588]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$\frac{1}{12}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{12} x^{2}$ の微分係数は $\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x] + \frac{d}{d x} [588]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{12} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 14 x] + \frac{d}{d x} [588]$

ステップ 1.1.1.2.3

$2$ と $\frac{1}{12}$ をまとめます。

$\frac{2}{12} x + \frac{d}{d x} [- 14 x] + \frac{d}{d x} [588]$

ステップ 1.1.1.2.4

$\frac{2}{12}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 x}{12} + \frac{d}{d x} [- 14 x] + \frac{d}{d x} [588]$

ステップ 1.1.1.2.5

$2$ と $12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.1.2.5.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (x)}{12} + \frac{d}{d x} [- 14 x] + \frac{d}{d x} [588]$

ステップ 1.1.1.2.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.5.2.1

$2$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{2 x}{2 \cdot 6} + \frac{d}{d x} [- 14 x] + \frac{d}{d x} [588]$

ステップ 1.1.1.2.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2 \cdot 6} + \frac{d}{d x} [- 14 x] + \frac{d}{d x} [588]$

ステップ 1.1.1.2.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{x}{6} + \frac{d}{d x} [- 14 x] + \frac{d}{d x} [588]$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 14 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1

$- 14$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 14 x$ の微分係数は $- 14 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{x}{6} - 14 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [588]$

ステップ 1.1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x}{6} - 14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [588]$

ステップ 1.1.1.3.3

$- 14$ に $1$ をかけます。

$\frac{x}{6} - 14 + \frac{d}{d x} [588]$

ステップ 1.1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.4.1

$588$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $588$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x}{6} - 14 + 0$

ステップ 1.1.1.4.2

$\frac{x}{6} - 14$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{x}{6} - 14$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{x}{6} - 14$ です。

$\frac{x}{6} - 14$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{x}{6} - 14 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{x}{6} - 14 = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺に $14$ を足します。

$\frac{x}{6} = 14$

ステップ 1.2.3

方程式の両辺に $6$ を掛けます。

$6 \frac{x}{6} = 6 \cdot 14$

ステップ 1.2.4

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1.1

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1.1.1

共通因数を約分します。

$6 \frac{x}{6} = 6 \cdot 14$

ステップ 1.2.4.1.1.2

式を書き換えます。

$x = 6 \cdot 14$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1

$6$ に $14$ をかけます。

$x = 84$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{1}{12} x^{2} - 14 x + 588$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 84$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$84$ を $x$ に代入します。

$\frac{1}{12} \cdot {(84)}^{2} - 14 \cdot 84 + 588$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.1

$84$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{12} \cdot 7056 - 14 \cdot 84 + 588$

ステップ 1.4.1.2.1.2

$12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.2.1

$12$ を $7056$ で因数分解します。

$\frac{1}{12} \cdot (12 (588)) - 14 \cdot 84 + 588$

ステップ 1.4.1.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{12} \cdot (12 \cdot 588) - 14 \cdot 84 + 588$

ステップ 1.4.1.2.1.2.3

式を書き換えます。

$588 - 14 \cdot 84 + 588$

ステップ 1.4.1.2.1.3

$- 14$ に $84$ をかけます。

$588 - 1176 + 588$

ステップ 1.4.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.2.1

$588$ から $1176$ を引きます。

$- 588 + 588$

ステップ 1.4.1.2.2.2

$- 588$ と $588$ をたし算します。

$0$

ステップ 1.4.2

点のすべてを一覧にします。

$(84, 0)$

ステップ 2

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 2.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 2.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$\frac{1}{12} \cdot {(0)}^{2} - 14 \cdot 0 + 588$

ステップ 2.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{12} \cdot 0 - 14 \cdot 0 + 588$

ステップ 2.1.2.1.2

$\frac{1}{12}$ に $0$ をかけます。

$0 - 14 \cdot 0 + 588$

ステップ 2.1.2.1.3

$- 14$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 588$

ステップ 2.1.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 588$

ステップ 2.1.2.2.2

$0$ と $588$ をたし算します。

$588$

ステップ 2.2

$x = 84$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$84$ を $x$ に代入します。

$\frac{1}{12} \cdot {(84)}^{2} - 14 \cdot 84 + 588$

ステップ 2.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

$84$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{12} \cdot 7056 - 14 \cdot 84 + 588$

ステップ 2.2.2.1.2

$12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.2.1

$12$ を $7056$ で因数分解します。

$\frac{1}{12} \cdot (12 (588)) - 14 \cdot 84 + 588$

ステップ 2.2.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{12} \cdot (12 \cdot 588) - 14 \cdot 84 + 588$

ステップ 2.2.2.1.2.3

式を書き換えます。

$588 - 14 \cdot 84 + 588$

ステップ 2.2.2.1.3

$- 14$ に $84$ をかけます。

$588 - 1176 + 588$

ステップ 2.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1

$588$ から $1176$ を引きます。

$- 588 + 588$

ステップ 2.2.2.2.2

$- 588$ と $588$ をたし算します。

$0$

ステップ 2.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, 588), (84, 0)$

ステップ 3

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(0, 588)$

最小値： $(84, 0)$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例