微分積分例

$f (t) = 4 \sqrt{t} - t$ , $[0, 16]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $4 \sqrt{t} - t$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [4 \sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [- t]$ です。

$\frac{d}{d t} [4 \sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [- t]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d t} [4 \sqrt{t}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{t}$ を $t^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d t} [4 t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$

ステップ 1.1.1.2.2

$4$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $4 t^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ です。

$4 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$

ステップ 1.1.1.2.3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d t} [- t]$

ステップ 1.1.1.2.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

ステップ 1.1.1.2.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

ステップ 1.1.1.2.6

公分母の分子をまとめます。

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

ステップ 1.1.1.2.7

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.1.2.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

ステップ 1.1.1.2.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

ステップ 1.1.1.2.8

分数の前に負数を移動させます。

$4 (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

ステップ 1.1.1.2.9

$\frac{1}{2}$ と $t^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$4 \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- t]$

ステップ 1.1.1.2.10

$4$ と $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{4 t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- t]$

ステップ 1.1.1.2.11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $t^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{4}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- t]$

ステップ 1.1.1.2.12

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- t]$

ステップ 1.1.1.2.13

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.1.2.13.1

$2$ を $2 t^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 (t^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d t} [- t]$

ステップ 1.1.1.2.13.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- t]$

ステップ 1.1.1.2.13.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- t]$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d t} [- t]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- t$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [t]$ です。

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 1.1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1$

ステップ 1.1.1.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (t) = \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1$

ステップ 1.1.2

$t$ に関する $f (t)$ の一次導関数は $\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1$ です。

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1 = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} = 1$

ステップ 1.2.3

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$t^{\frac{1}{2}}, 1$

ステップ 1.2.3.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$t^{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.2.4

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} = 1$ の各項に $t^{\frac{1}{2}}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 1.2.4.1

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} = 1$ の各項に $t^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} t^{\frac{1}{2}} = 1 t^{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.2.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1

$t^{\frac{1}{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} t^{\frac{1}{2}} = 1 t^{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

式を書き換えます。

$2 = 1 t^{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.2.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.3.1

$t^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$2 = t^{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.2.5

方程式を解きます。

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ステップ 1.2.5.1

方程式を $t^{\frac{1}{2}} = 2$ として書き換えます。

$t^{\frac{1}{2}} = 2$

ステップ 1.2.5.2

方程式の両辺を $2$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(t^{\frac{1}{2}})}^{2} = 2^{2}$

ステップ 1.2.5.3

指数を簡約します。

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ステップ 1.2.5.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.3.1.1

${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.3.1.1.1

${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.5.3.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$t^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

ステップ 1.2.5.3.1.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.5.3.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$t^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

ステップ 1.2.5.3.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

$t^{1} = 2^{2}$

ステップ 1.2.5.3.1.1.2

簡約します。

$t = 2^{2}$

ステップ 1.2.5.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.3.2.1

$2$ を $2$ 乗します。

$t = 4$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

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ステップ 1.3.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{2}{\sqrt{t^{1}}} - 1$

ステップ 1.3.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$\frac{2}{\sqrt{t}} - 1$

ステップ 1.3.2

$\frac{2}{\sqrt{t}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt{t} = 0$

ステップ 1.3.3

$t$ について解きます。

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ステップ 1.3.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{t}}^{2} = 0^{2}$

ステップ 1.3.3.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{t}$ を $t^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(t^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 1.3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.2.1

${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.2.1.1

${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.3.3.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$t^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 1.3.3.2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$t^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 1.3.3.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$t^{1} = 0^{2}$

ステップ 1.3.3.2.2.1.2

簡約します。

$t = 0^{2}$

ステップ 1.3.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$t = 0$

ステップ 1.3.4

$\sqrt{t}$ の被開数を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$t < 0$

ステップ 1.3.5

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$t \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$t \leq 0$

$(- \infty, 0]$

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $t$ における $4 \sqrt{t} - t$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$t = 4$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$4$ を $t$ に代入します。

$4 \sqrt{4} - (4)$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

括弧を削除します。

$4 \sqrt{4} - (4)$

ステップ 1.4.1.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$4 \sqrt{2^{2}} - (4)$

ステップ 1.4.1.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$4 \cdot 2 - (4)$

ステップ 1.4.1.2.2.3

$4$ に $2$ をかけます。

$8 - (4)$

ステップ 1.4.1.2.2.4

$- 1$ に $4$ をかけます。

$8 - 4$

ステップ 1.4.1.2.3

$8$ から $4$ を引きます。

$4$

ステップ 1.4.2

$t = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$0$ を $t$ に代入します。

$4 \sqrt{0} - (0)$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1

括弧を削除します。

$4 \sqrt{0} - (0)$

ステップ 1.4.2.2.2

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$4 \sqrt{0^{2}} - (0)$

ステップ 1.4.2.2.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$4 \cdot 0 - (0)$

ステップ 1.4.2.2.4

$4$ に $0$ をかけます。

$0 - (0)$

ステップ 1.4.2.2.5

$0$ から $0$ を引きます。

$0$

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(4, 4), (0, 0)$

ステップ 2

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 2.1

$t = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$0$ を $t$ に代入します。

$4 \sqrt{0} - (0)$

ステップ 2.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

括弧を削除します。

$4 \sqrt{0} - (0)$

ステップ 2.1.2.2

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$4 \sqrt{0^{2}} - (0)$

ステップ 2.1.2.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$4 \cdot 0 - (0)$

ステップ 2.1.2.4

$4$ に $0$ をかけます。

$0 - (0)$

ステップ 2.1.2.5

$0$ から $0$ を引きます。

$0$

ステップ 2.2

$t = 16$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$16$ を $t$ に代入します。

$4 \sqrt{16} - (16)$

ステップ 2.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

括弧を削除します。

$4 \sqrt{16} - (16)$

ステップ 2.2.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$4 \sqrt{4^{2}} - (16)$

ステップ 2.2.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$4 \cdot 4 - (16)$

ステップ 2.2.2.2.3

$4$ に $4$ をかけます。

$16 - (16)$

ステップ 2.2.2.2.4

$- 1$ に $16$ をかけます。

$16 - 16$

ステップ 2.2.2.3

$16$ から $16$ を引きます。

$0$

ステップ 2.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, 0), (16, 0)$

ステップ 3

$t$ の各値に対して求めた $f (t)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (t)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (t)$ の値で発生します。

最大値： $(4, 4)$

最小値： $(0, 0), (16, 0)$

ステップ 4

微分積分 例

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