微分積分例

$h (x) = 2 \sqrt[3]{x}$ , $- 8 \leq x \leq 1$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 1.1.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{\frac{1}{3}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 1.1.1.3

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

ステップ 1.1.1.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

ステップ 1.1.1.5

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 1.1.1.6

公分母の分子をまとめます。

$2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 1.1.1.7

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.1.7.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

ステップ 1.1.1.7.2

$1$ から $3$ を引きます。

$2 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

ステップ 1.1.1.8

分数の前に負数を移動させます。

$2 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

ステップ 1.1.1.9

$\frac{1}{3}$ と $x^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$2 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

ステップ 1.1.1.10

$2$ と $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ をまとめます。

$\frac{2 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

ステップ 1.1.1.11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $h (x)$ の一次導関数は $\frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ です。

$\frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

ステップ 1.2.2

分子を0に等しくします。

$2 = 0$

ステップ 1.2.3

$2 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

ステップ 1.3.2

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$3 \sqrt[3]{x^{2}} = 0$

ステップ 1.3.3

$x$ について解きます。

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ステップ 1.3.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${(3 \sqrt[3]{x^{2}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 1.3.3.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x^{2}}$ を $x^{\frac{2}{3}}$ に書き換えます。

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 1.3.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.2.2.1

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ を簡約します。

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ステップ 1.3.3.2.2.1.1

積の法則を $3 x^{\frac{2}{3}}$ に当てはめます。

$3^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 1.3.3.2.2.1.2

$3$ を $3$ 乗します。

$27 {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 1.3.3.2.2.1.3

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.3.3.2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 1.3.3.2.2.1.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.3.2.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 1.3.3.2.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$27 x^{2} = 0^{3}$

ステップ 1.3.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$27 x^{2} = 0$

ステップ 1.3.3.3

$x$ について解きます。

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ステップ 1.3.3.3.1

$27 x^{2} = 0$ の各項を $27$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.3.3.3.1.1

$27 x^{2} = 0$ の各項を $27$ で割ります。

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

ステップ 1.3.3.3.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.3.1.2.1

$27$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.3.3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

ステップ 1.3.3.3.1.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{0}{27}$

ステップ 1.3.3.3.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.3.1.3.1

$0$ を $27$ で割ります。

$x^{2} = 0$

ステップ 1.3.3.3.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 1.3.3.3.3

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 1.3.3.3.3.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 1.3.3.3.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 1.3.3.3.3.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $2 \sqrt[3]{x}$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$2 \sqrt[3]{0}$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

括弧を削除します。

$2 \sqrt[3]{0}$

ステップ 1.4.1.2.2

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$2 \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 1.4.1.2.3

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$2 \cdot 0$

ステップ 1.4.1.2.4

$2$ に $0$ をかけます。

$0$

ステップ 1.4.2

点のすべてを一覧にします。

$(0, 0)$

ステップ 2

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 2.1

$x = - 8$ での値を求めます。

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ステップ 2.1.1

$- 8$ を $x$ に代入します。

$2 \sqrt[3]{- 8}$

ステップ 2.1.2

簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

括弧を削除します。

$2 \sqrt[3]{- 8}$

ステップ 2.1.2.2

$- 8$ を ${(- 2)}^{3}$ に書き換えます。

$2 \sqrt[3]{{(- 2)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.3

掛け算します。

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ステップ 2.1.2.3.1

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$2 \cdot - 2$

ステップ 2.1.2.3.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$- 4$

ステップ 2.2

$x = 1$ での値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$1$ を $x$ に代入します。

$2 \sqrt[3]{1}$

ステップ 2.2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

括弧を削除します。

$2 \sqrt[3]{1}$

ステップ 2.2.2.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$2 \cdot 1$

ステップ 2.2.2.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 2.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 8, - 4), (1, 2)$

ステップ 3

$x$ の各値に対して求めた $h (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $h (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $h (x)$ の値で発生します。

最大値： $(1, 2)$

最小値： $(- 8, - 4)$

ステップ 4

微分積分 例

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