微分積分例

$f (x) = {(x^{2} - 9)}^{2}$ on $- 3$ , $3$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} - 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 9$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

ステップ 1.1.1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

ステップ 1.1.1.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 9$ で置き換えます。

$2 (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

ステップ 1.1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.1.2.1

総和則では、 $x^{2} - 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ です。

$2 (x^{2} - 9) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x^{2} - 9) (2 x + \frac{d}{d x} [- 9])$

ステップ 1.1.1.2.3

$- 9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$2 (x^{2} - 9) (2 x + 0)$

ステップ 1.1.1.2.4

式を簡約します。

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ステップ 1.1.1.2.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 (x^{2} - 9) (2 x)$

ステップ 1.1.1.2.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$4 (x^{2} - 9) x$

ステップ 1.1.1.3

簡約します。

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ステップ 1.1.1.3.1

分配則を当てはめます。

$(4 x^{2} + 4 \cdot - 9) x$

ステップ 1.1.1.3.2

分配則を当てはめます。

$4 x^{2} x + 4 \cdot - 9 x$

ステップ 1.1.1.3.3

項をまとめます。

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ステップ 1.1.1.3.3.1

$x$ を $1$ 乗します。

$4 (x^{1} x^{2}) + 4 \cdot - 9 x$

ステップ 1.1.1.3.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 x^{1 + 2} + 4 \cdot - 9 x$

ステップ 1.1.1.3.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$4 x^{3} + 4 \cdot - 9 x$

ステップ 1.1.1.3.3.4

$4$ に $- 9$ をかけます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 x^{3} - 36 x$ です。

$4 x^{3} - 36 x$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x^{3} - 36 x = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 x^{3} - 36 x = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

$4 x$ を $4 x^{3} - 36 x$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1.1

$4 x$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) - 36 x = 0$

ステップ 1.2.2.1.2

$4 x$ を $- 36 x$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 9) = 0$

ステップ 1.2.2.1.3

$4 x$ を $4 x (x^{2}) + 4 x (- 9)$ で因数分解します。

$4 x (x^{2} - 9) = 0$

ステップ 1.2.2.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$4 x (x^{2} - 3^{2}) = 0$

ステップ 1.2.2.3

因数分解。

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ステップ 1.2.2.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$4 x ((x + 3) (x - 3)) = 0$

ステップ 1.2.2.3.2

不要な括弧を削除します。

$4 x (x + 3) (x - 3) = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 1.2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 1.2.5

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 1.2.5.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 1.2.6

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.6.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 1.2.6.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 1.2.7

最終解は $4 x (x + 3) (x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 3, 3$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における ${(x^{2} - 9)}^{2}$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

${({(0)}^{2} - 9)}^{2}$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

${(0 - 9)}^{2}$

ステップ 1.4.1.2.2

$0$ から $9$ を引きます。

${(- 9)}^{2}$

ステップ 1.4.1.2.3

$- 9$ を $2$ 乗します。

$81$

ステップ 1.4.2

$x = - 3$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.2.1

$- 3$ を $x$ に代入します。

${({(- 3)}^{2} - 9)}^{2}$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

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ステップ 1.4.2.2.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

${(9 - 9)}^{2}$

ステップ 1.4.2.2.2

$9$ から $9$ を引きます。

$0^{2}$

ステップ 1.4.2.2.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0$

ステップ 1.4.3

$x = 3$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.3.1

$3$ を $x$ に代入します。

${({(3)}^{2} - 9)}^{2}$

ステップ 1.4.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.1

$3$ を $2$ 乗します。

${(9 - 9)}^{2}$

ステップ 1.4.3.2.2

$9$ から $9$ を引きます。

$0^{2}$

ステップ 1.4.3.2.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0$

ステップ 1.4.4

点のすべてを一覧にします。

$(0, 81), (- 3, 0), (3, 0)$

ステップ 2

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 2.1

$x = - 3$ での値を求めます。

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ステップ 2.1.1

$- 3$ を $x$ に代入します。

${({(- 3)}^{2} - 9)}^{2}$

ステップ 2.1.2

簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

${(9 - 9)}^{2}$

ステップ 2.1.2.2

$9$ から $9$ を引きます。

$0^{2}$

ステップ 2.1.2.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0$

ステップ 2.2

$x = 3$ での値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$3$ を $x$ に代入します。

${({(3)}^{2} - 9)}^{2}$

ステップ 2.2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$3$ を $2$ 乗します。

${(9 - 9)}^{2}$

ステップ 2.2.2.2

$9$ から $9$ を引きます。

$0^{2}$

ステップ 2.2.2.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0$

ステップ 2.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 3, 0), (3, 0)$

ステップ 3

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(0, 81)$

最小値： $(- 3, 0), (3, 0)$

ステップ 4

微分積分 例

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