微分積分例

$f (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$ on $- 1$ , $2$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1.1

総和則では、 $x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$

ステップ 1.1.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$- \frac{3}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{3}{2} x^{2}$ の微分係数は $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - \frac{3}{2} (2 x)$

ステップ 1.1.1.2.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$3 x^{2} - 2 (\frac{3}{2}) x$

ステップ 1.1.1.2.4

$- 2$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$3 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 3}{2} x$

ステップ 1.1.1.2.5

$- 2$ に $3$ をかけます。

$3 x^{2} + \frac{- 6}{2} x$

ステップ 1.1.1.2.6

$\frac{- 6}{2}$ と $x$ をまとめます。

$3 x^{2} + \frac{- 6 x}{2}$

ステップ 1.1.1.2.7

$- 6$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.1.2.7.1

$2$ を $- 6 x$ で因数分解します。

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2}$

ステップ 1.1.1.2.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.1.2.7.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (1)}$

ステップ 1.1.1.2.7.2.2

共通因数を約分します。

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.1.1.2.7.2.3

式を書き換えます。

$3 x^{2} + \frac{- 3 x}{1}$

ステップ 1.1.1.2.7.2.4

$- 3 x$ を $1$ で割ります。

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 x$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} - 3 x$ です。

$3 x^{2} - 3 x$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} - 3 x = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} - 3 x = 0$

ステップ 1.2.2

$3 x$ を $3 x^{2} - 3 x$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

$3 x$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$3 x (x) - 3 x = 0$

ステップ 1.2.2.2

$3 x$ を $- 3 x$ で因数分解します。

$3 x (x) + 3 x (- 1) = 0$

ステップ 1.2.2.3

$3 x$ を $3 x (x) + 3 x (- 1)$ で因数分解します。

$3 x (x - 1) = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 1.2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 1.2.5

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 1.2.5.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 1.2.6

最終解は $3 x (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 1$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

${(0)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{2}$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{2}$

ステップ 1.4.1.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - \frac{3}{2} \cdot 0$

ステップ 1.4.1.2.1.3

$- \frac{3}{2} \cdot 0$ を掛けます。

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ステップ 1.4.1.2.1.3.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$0 + 0 (\frac{3}{2})$

ステップ 1.4.1.2.1.3.2

$0$ に $\frac{3}{2}$ をかけます。

$0 + 0$

ステップ 1.4.1.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

ステップ 1.4.2

$x = 1$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.2.1

$1$ を $x$ に代入します。

${(1)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(1)}^{2}$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$1 - \frac{3}{2} \cdot {(1)}^{2}$

ステップ 1.4.2.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$1 - \frac{3}{2} \cdot 1$

ステップ 1.4.2.2.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$1 - \frac{3}{2}$

ステップ 1.4.2.2.2

式を簡約します。

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ステップ 1.4.2.2.2.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

ステップ 1.4.2.2.2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 - 3}{2}$

ステップ 1.4.2.2.2.3

$2$ から $3$ を引きます。

$\frac{- 1}{2}$

ステップ 1.4.2.2.2.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{2}$

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, 0), (1, - \frac{1}{2})$

ステップ 2

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 2.1

$x = - 1$ での値を求めます。

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ステップ 2.1.1

$- 1$ を $x$ に代入します。

${(- 1)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

ステップ 2.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

$- 1$ を $3$ 乗します。

$- 1 - \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

ステップ 2.1.2.1.2

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.1.2.1.2.1

${(- 1)}^{2}$ を移動させます。

$- 1 + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{3}{2}$

ステップ 2.1.2.1.2.2

${(- 1)}^{2}$ に $- 1$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.2.2.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$- 1 + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{3}{2}$

ステップ 2.1.2.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 1 + {(- 1)}^{2 + 1} \frac{3}{2}$

ステップ 2.1.2.1.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$- 1 + {(- 1)}^{3} \frac{3}{2}$

ステップ 2.1.2.1.3

$- 1$ を $3$ 乗します。

$- 1 - \frac{3}{2}$

ステップ 2.1.2.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

ステップ 2.1.2.3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

ステップ 2.1.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 1 \cdot 2 - 3}{2}$

ステップ 2.1.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.1.2.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 2 - 3}{2}$

ステップ 2.1.2.5.2

$- 2$ から $3$ を引きます。

$\frac{- 5}{2}$

ステップ 2.1.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{5}{2}$

ステップ 2.2

$x = 2$ での値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$2$ を $x$ に代入します。

${(2)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(2)}^{2}$

ステップ 2.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

$2$ を $3$ 乗します。

$8 - \frac{3}{2} \cdot {(2)}^{2}$

ステップ 2.2.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.2.1

$- \frac{3}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$8 + \frac{- 3}{2} \cdot {(2)}^{2}$

ステップ 2.2.2.1.2.2

$2$ を ${(2)}^{2}$ で因数分解します。

$8 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot 2)$

ステップ 2.2.2.1.2.3

共通因数を約分します。

$8 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot 2)$

ステップ 2.2.2.1.2.4

式を書き換えます。

$8 - 3 \cdot 2$

ステップ 2.2.2.1.3

$- 3$ に $2$ をかけます。

$8 - 6$

ステップ 2.2.2.2

$8$ から $6$ を引きます。

$2$

ステップ 2.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 1, - \frac{5}{2}), (2, 2)$

ステップ 3

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(2, 2)$

最小値： $(- 1, - \frac{5}{2})$

ステップ 4

微分積分 例

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