微分積分例

$f (x) = 2 \sin^{2} (x)$ , $[\frac{π}{3}, 2 π]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \sin^{2} (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

ステップ 1.1.1.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sin (x)$ とします。

$2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 1.1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$2 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 1.1.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 1.1.1.4

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$4 \sin (x) \cos (x)$

ステップ 1.1.1.5

$4 \sin (x) \cos (x)$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = 4 \cos (x) \sin (x)$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 \cos (x) \sin (x)$ です。

$4 \cos (x) \sin (x)$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 \cos (x) \sin (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 \cos (x) \sin (x) = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

ステップ 1.2.3

$\cos (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.3.1

$\cos (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (x) = 0$

ステップ 1.2.3.2

$x$ について $\cos (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.3.2.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (0)$

ステップ 1.2.3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.2.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 1.2.3.2.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 1.2.3.2.4

$2 π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 1.2.3.2.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 1.2.3.2.4.2.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 1.2.3.2.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 1.2.3.2.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.4.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 1.2.3.2.4.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 1.2.3.2.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 1.2.3.2.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 1.2.3.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 1.2.3.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 1.2.3.2.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 1.2.3.2.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.2.4

$\sin (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.4.1

$\sin (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\sin (x) = 0$

ステップ 1.2.4.2

$x$ について $\sin (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.4.2.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (0)$

ステップ 1.2.4.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.2.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 1.2.4.2.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - 0$

ステップ 1.2.4.2.4

$π$ から $0$ を引きます。

$x = π$

ステップ 1.2.4.2.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 1.2.4.2.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 1.2.4.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 1.2.4.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 1.2.4.2.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 1.2.4.2.6

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.2.5

最終解は $4 \cos (x) \sin (x) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.2.6

答えをまとめます。

$x = \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $2 \sin^{2} (x)$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$2 \sin^{2} (0)$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$2 \cdot 0^{2}$

ステップ 1.4.1.2.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$2 \cdot 0$

ステップ 1.4.1.2.3

$2$ に $0$ をかけます。

$0$

ステップ 1.4.2

$x = \frac{π}{2}$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.2.1

$\frac{π}{2}$ を $x$ に代入します。

$2 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

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ステップ 1.4.2.2.1

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$2 \cdot 1^{2}$

ステップ 1.4.2.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$2 \cdot 1$

ステップ 1.4.2.2.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(0 + π n, 0), (\frac{π}{2} + π n, 2)$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2

区間上にない点を除外します。

$(π, 0), (2 π, 0), (\frac{π}{2}, 2), (\frac{3 π}{2}, 2)$

ステップ 3

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 3.1

$x = \frac{π}{3}$ での値を求めます。

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ステップ 3.1.1

$\frac{π}{3}$ を $x$ に代入します。

$2 \sin^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 3.1.2

簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$2 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}$

ステップ 3.1.2.2

積の法則を $\frac{\sqrt{3}}{2}$ に当てはめます。

$2 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$

ステップ 3.1.2.3

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 3.1.2.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$2 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

ステップ 3.1.2.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

ステップ 3.1.2.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

ステップ 3.1.2.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.2.3.4.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

ステップ 3.1.2.3.4.2

式を書き換えます。

$2 \frac{3^{1}}{2^{2}}$

ステップ 3.1.2.3.5

指数を求めます。

$2 \frac{3}{2^{2}}$

ステップ 3.1.2.4

$2$ を $2$ 乗します。

$2 (\frac{3}{4})$

ステップ 3.1.2.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.2.5.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$2 \frac{3}{2 (2)}$

ステップ 3.1.2.5.2

共通因数を約分します。

$2 \frac{3}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.1.2.5.3

式を書き換えます。

$\frac{3}{2}$

ステップ 3.2

$x = 2 π$ での値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$2 π$ を $x$ に代入します。

$2 \sin^{2} (2 π)$

ステップ 3.2.2

簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$2 \sin^{2} (0)$

ステップ 3.2.2.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$2 \cdot 0^{2}$

ステップ 3.2.2.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$2 \cdot 0$

ステップ 3.2.2.4

$2$ に $0$ をかけます。

$0$

ステップ 3.3

点のすべてを一覧にします。

$(\frac{π}{3}, \frac{3}{2}), (2 π, 0)$

ステップ 4

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(\frac{π}{2}, 2), (\frac{3 π}{2}, 2)$

最小値： $(π, 0), (2 π, 0)$

ステップ 5

微分積分 例

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