微分積分例

$g (x) = \frac{8 x^{2}}{x - 2}$ , $[- 2, 1]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{8 x^{2}}{x - 2}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x - 2}]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x - 2}]$

ステップ 1.1.1.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$8 \frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.1.3.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 \frac{(x - 2) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2

$2$ を $x - 2$ の左に移動させます。

$8 \frac{2 \cdot (x - 2) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.3

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$8 \frac{2 (x - 2) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 \frac{2 (x - 2) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.5

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$8 \frac{2 (x - 2) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.6

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$8 \frac{2 (x - 2) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.6.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$8 \frac{2 (x - 2) x - x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.6.3

$8$ と $\frac{2 (x - 2) x - x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{8 (2 (x - 2) x - x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{8 ((2 x + 2 \cdot - 2) x - x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{8 (2 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x - x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.4.3

分配則を当てはめます。

$\frac{8 (2 x \cdot x) + 8 (2 \cdot - 2 x) + 8 (- x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.4.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.4.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.4.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{8 (2 (x \cdot x)) + 8 (2 \cdot - 2 x) + 8 (- x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.4.4.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{8 (2 x^{2}) + 8 (2 \cdot - 2 x) + 8 (- x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.4.4.1.2

$2$ に $8$ をかけます。

$\frac{16 x^{2} + 8 (2 \cdot - 2 x) + 8 (- x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.4.4.1.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{16 x^{2} + 8 (- 4 x) + 8 (- x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.4.4.1.4

$- 4$ に $8$ をかけます。

$\frac{16 x^{2} - 32 x + 8 (- x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.4.4.1.5

$- 1$ に $8$ をかけます。

$\frac{16 x^{2} - 32 x - 8 x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.4.4.2

$16 x^{2}$ から $8 x^{2}$ を引きます。

$\frac{8 x^{2} - 32 x}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.4.5

$8 x$ を $8 x^{2} - 32 x$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.1.4.5.1

$8 x$ を $8 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{8 x (x) - 32 x}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.4.5.2

$8 x$ を $- 32 x$ で因数分解します。

$\frac{8 x (x) + 8 x (- 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.4.5.3

$8 x$ を $8 x (x) + 8 x (- 4)$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{8 x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $g (x)$ の一次導関数は $\frac{8 x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$ です。

$\frac{8 x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{8 x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{8 x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}} = 0$

ステップ 1.2.2

分子を0に等しくします。

$8 x (x - 4) = 0$

ステップ 1.2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 1.2.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 4 = 0$

ステップ 1.2.3.2

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 1.2.3.3

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.3.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 1.2.3.3.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 1.2.3.4

最終解は $8 x (x - 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 4$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$\frac{8 x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 1.3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 1.3.2.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 1.3.2.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{8 x^{2}}{x - 2}$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$\frac{8 {(0)}^{2}}{(0) - 2}$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

$8$ と $(0) - 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.1

$2$ を $8 {(0)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (4 {(0)}^{2})}{(0) - 2}$

ステップ 1.4.1.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.2.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$\frac{2 (4 {(0)}^{2})}{2 (0) - 2}$

ステップ 1.4.1.2.1.2.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{2 (4 {(0)}^{2})}{2 \cdot 0 + 2 \cdot - 1}$

ステップ 1.4.1.2.1.2.3

$2$ を $2 \cdot 0 + 2 \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{2 (4 {(0)}^{2})}{2 \cdot (0 - 1)}$

ステップ 1.4.1.2.1.2.4

共通因数を約分します。

$\frac{2 (4 {(0)}^{2})}{2 \cdot (0 - 1)}$

ステップ 1.4.1.2.1.2.5

式を書き換えます。

$\frac{4 {(0)}^{2}}{0 - 1}$

ステップ 1.4.1.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{4 \cdot 0}{0 - 1}$

ステップ 1.4.1.2.2.2

$0$ から $1$ を引きます。

$\frac{4 \cdot 0}{- 1}$

ステップ 1.4.1.2.2.3

$4$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{- 1}$

ステップ 1.4.1.2.2.4

$0$ を $- 1$ で割ります。

$0$

ステップ 1.4.2

$x = 4$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.2.1

$4$ を $x$ に代入します。

$\frac{8 {(4)}^{2}}{(4) - 2}$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1

$8$ と $(4) - 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.1

$2$ を $8 {(4)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (4 {(4)}^{2})}{(4) - 2}$

ステップ 1.4.2.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 (4 {(4)}^{2})}{2 (2) - 2}$

ステップ 1.4.2.2.1.2.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{2 (4 {(4)}^{2})}{2 \cdot 2 + 2 \cdot - 1}$

ステップ 1.4.2.2.1.2.3

$2$ を $2 \cdot 2 + 2 \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{2 (4 {(4)}^{2})}{2 \cdot (2 - 1)}$

ステップ 1.4.2.2.1.2.4

共通因数を約分します。

$\frac{2 (4 {(4)}^{2})}{2 \cdot (2 - 1)}$

ステップ 1.4.2.2.1.2.5

式を書き換えます。

$\frac{4 {(4)}^{2}}{2 - 1}$

ステップ 1.4.2.2.2

指数を足して $4$ に ${(4)}^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.2.1

$4$ に ${(4)}^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.2.1.1

$4$ を $1$ 乗します。

$\frac{4^{1} {(4)}^{2}}{2 - 1}$

ステップ 1.4.2.2.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4^{1 + 2}}{2 - 1}$

ステップ 1.4.2.2.2.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{4^{3}}{2 - 1}$

ステップ 1.4.2.2.3

$4$ を $3$ 乗します。

$\frac{64}{2 - 1}$

ステップ 1.4.2.2.4

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{64}{1}$

ステップ 1.4.2.2.5

$64$ を $1$ で割ります。

$64$

ステップ 1.4.3

$x = 2$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1

$2$ を $x$ に代入します。

$\frac{8 {(2)}^{2}}{(2) - 2}$

ステップ 1.4.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.1

$2$ から $2$ を引きます。

$\frac{8 {(2)}^{2}}{0}$

ステップ 1.4.3.2.2

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 1.4.4

点のすべてを一覧にします。

$(0, 0), (4, 64)$

ステップ 2

区間上にない点を除外します。

$(0, 0)$

ステップ 3

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 3.1

$x = - 2$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$- 2$ を $x$ に代入します。

$\frac{8 {(- 2)}^{2}}{(- 2) - 2}$

ステップ 3.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$8$ と $(- 2) - 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

$2$ を $8 {(- 2)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (4 {(- 2)}^{2})}{(- 2) - 2}$

ステップ 3.1.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{2 (4 {(- 2)}^{2})}{2 (- 1) - 2}$

ステップ 3.1.2.1.2.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{2 (4 {(- 2)}^{2})}{2 \cdot - 1 + 2 \cdot - 1}$

ステップ 3.1.2.1.2.3

$2$ を $2 \cdot - 1 + 2 \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{2 (4 {(- 2)}^{2})}{2 \cdot (- 1 - 1)}$

ステップ 3.1.2.1.2.4

共通因数を約分します。

$\frac{2 (4 {(- 2)}^{2})}{2 \cdot (- 1 - 1)}$

ステップ 3.1.2.1.2.5

式を書き換えます。

$\frac{4 {(- 2)}^{2}}{- 1 - 1}$

ステップ 3.1.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$\frac{4 \cdot 4}{- 1 - 1}$

ステップ 3.1.2.2.2

$- 1$ から $1$ を引きます。

$\frac{4 \cdot 4}{- 2}$

ステップ 3.1.2.2.3

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{16}{- 2}$

ステップ 3.1.2.2.4

$16$ を $- 2$ で割ります。

$- 8$

ステップ 3.2

$x = 1$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$1$ を $x$ に代入します。

$\frac{8 {(1)}^{2}}{(1) - 2}$

ステップ 3.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{8 \cdot 1}{1 - 2}$

ステップ 3.2.2.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{8 \cdot 1}{- 1}$

ステップ 3.2.2.3

$8$ に $1$ をかけます。

$\frac{8}{- 1}$

ステップ 3.2.2.4

$8$ を $- 1$ で割ります。

$- 8$

ステップ 3.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 2, - 8), (1, - 8)$

ステップ 4

$x$ の各値に対して求めた $g (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $g (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $g (x)$ の値で発生します。

最大値： $(0, 0)$

最小値： $(- 2, - 8), (1, - 8)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例