微分積分例

$f (x) = x^{3} + x^{2} - 5 x + 8$ ; $(0, \infty)$

ステップ 1

臨界点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1.1

総和則では、 $x^{3} + x^{2} - 5 x + 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [8]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 1.1.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 1.1.1.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} + 2 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 2 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 1.1.1.2.3

$- 5$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} + 2 x - 5 + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 1.1.1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.3.1

$8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} + 2 x - 5 + 0$

ステップ 1.1.1.3.2

$3 x^{2} + 2 x - 5$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 5$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} + 2 x - 5$ です。

$3 x^{2} + 2 x - 5$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} + 2 x - 5 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} + 2 x - 5 = 0$

ステップ 1.2.2

群による因数分解。

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ステップ 1.2.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ で和が $b = 2$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 1.2.2.1.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$3 x^{2} + 2 (x) - 5 = 0$

ステップ 1.2.2.1.2

$2$ を $- 3$ プラス $5$ に書き換える

$3 x^{2} + (- 3 + 5) x - 5 = 0$

ステップ 1.2.2.1.3

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} - 3 x + 5 x - 5 = 0$

ステップ 1.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.2.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(3 x^{2} - 3 x) + 5 x - 5 = 0$

ステップ 1.2.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$3 x (x - 1) + 5 (x - 1) = 0$

ステップ 1.2.2.3

最大公約数 $x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x - 1) (3 x + 5) = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 1 = 0$

$3 x + 5 = 0$

ステップ 1.2.4

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.4.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 1.2.4.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 1.2.5

$3 x + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.1

$3 x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$3 x + 5 = 0$

ステップ 1.2.5.2

$x$ について $3 x + 5 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.2.1

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$3 x = - 5$

ステップ 1.2.5.2.2

$3 x = - 5$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.2.1

$3 x = - 5$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

ステップ 1.2.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

ステップ 1.2.5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 5}{3}$

ステップ 1.2.5.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{5}{3}$

ステップ 1.2.6

最終解は $(x - 1) (3 x + 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1, - \frac{5}{3}$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{3} + x^{2} - 5 x + 8$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 1$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$1$ を $x$ に代入します。

${(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 + 8$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 + 8$

ステップ 1.4.1.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 1 - 5 \cdot 1 + 8$

ステップ 1.4.1.2.1.3

$- 5$ に $1$ をかけます。

$1 + 1 - 5 + 8$

ステップ 1.4.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.2.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 - 5 + 8$

ステップ 1.4.1.2.2.2

$2$ から $5$ を引きます。

$- 3 + 8$

ステップ 1.4.1.2.2.3

$- 3$ と $8$ をたし算します。

$5$

ステップ 1.4.2

$x = - \frac{5}{3}$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.2.1

$- \frac{5}{3}$ を $x$ に代入します。

${(- \frac{5}{3})}^{3} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 1.4.2.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{5}{3}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{3} {(\frac{5}{3})}^{3} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

ステップ 1.4.2.2.1.1.2

積の法則を $\frac{5}{3}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{3} \frac{5^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

ステップ 1.4.2.2.1.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$- \frac{5^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

ステップ 1.4.2.2.1.3

$5$ を $3$ 乗します。

$- \frac{125}{3^{3}} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

ステップ 1.4.2.2.1.4

$3$ を $3$ 乗します。

$- \frac{125}{27} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

ステップ 1.4.2.2.1.5

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 1.4.2.2.1.5.1

積の法則を $- \frac{5}{3}$ に当てはめます。

$- \frac{125}{27} + {(- 1)}^{2} {(\frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

ステップ 1.4.2.2.1.5.2

積の法則を $\frac{5}{3}$ に当てはめます。

$- \frac{125}{27} + {(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{3^{2}} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

ステップ 1.4.2.2.1.6

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- \frac{125}{27} + 1 \frac{5^{2}}{3^{2}} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

ステップ 1.4.2.2.1.7

$\frac{5^{2}}{3^{2}}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{125}{27} + \frac{5^{2}}{3^{2}} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

ステップ 1.4.2.2.1.8

$5$ を $2$ 乗します。

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{3^{2}} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

ステップ 1.4.2.2.1.9

$3$ を $2$ 乗します。

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

ステップ 1.4.2.2.1.10

$- 5 (- \frac{5}{3})$ を掛けます。

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ステップ 1.4.2.2.1.10.1

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} + 5 (\frac{5}{3}) + 8$

ステップ 1.4.2.2.1.10.2

$5$ と $\frac{5}{3}$ をまとめます。

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} + \frac{5 \cdot 5}{3} + 8$

ステップ 1.4.2.2.1.10.3

$5$ に $5$ をかけます。

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} + \frac{25}{3} + 8$

ステップ 1.4.2.2.2

公分母を求めます。

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ステップ 1.4.2.2.2.1

$\frac{25}{9}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} \cdot \frac{3}{3} + \frac{25}{3} + 8$

ステップ 1.4.2.2.2.2

$\frac{25}{9}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25}{3} + 8$

ステップ 1.4.2.2.2.3

$\frac{25}{3}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25}{3} \cdot \frac{9}{9} + 8$

ステップ 1.4.2.2.2.4

$\frac{25}{3}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 8$

ステップ 1.4.2.2.2.5

$8$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{8}{1}$

ステップ 1.4.2.2.2.6

$\frac{8}{1}$ に $\frac{27}{27}$ をかけます。

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{8}{1} \cdot \frac{27}{27}$

ステップ 1.4.2.2.2.7

$\frac{8}{1}$ に $\frac{27}{27}$ をかけます。

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{8 \cdot 27}{27}$

ステップ 1.4.2.2.2.8

$9 \cdot 3$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{8 \cdot 27}{27}$

ステップ 1.4.2.2.2.9

$3$ に $9$ をかけます。

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{27} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{8 \cdot 27}{27}$

ステップ 1.4.2.2.2.10

$3$ に $9$ をかけます。

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{27} + \frac{25 \cdot 9}{27} + \frac{8 \cdot 27}{27}$

ステップ 1.4.2.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 125 + 25 \cdot 3 + 25 \cdot 9 + 8 \cdot 27}{27}$

ステップ 1.4.2.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.2.2.4.1

$25$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 125 + 75 + 25 \cdot 9 + 8 \cdot 27}{27}$

ステップ 1.4.2.2.4.2

$25$ に $9$ をかけます。

$\frac{- 125 + 75 + 225 + 8 \cdot 27}{27}$

ステップ 1.4.2.2.4.3

$8$ に $27$ をかけます。

$\frac{- 125 + 75 + 225 + 216}{27}$

ステップ 1.4.2.2.5

数を加えて簡約します。

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ステップ 1.4.2.2.5.1

$- 125$ と $75$ をたし算します。

$\frac{- 50 + 225 + 216}{27}$

ステップ 1.4.2.2.5.2

$- 50$ と $225$ をたし算します。

$\frac{175 + 216}{27}$

ステップ 1.4.2.2.5.3

$175$ と $216$ をたし算します。

$\frac{391}{27}$

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(1, 5), (- \frac{5}{3}, \frac{391}{27})$

ステップ 2

区間上にない点を除外します。

$(1, 5)$

ステップ 3

一次導関数検定を利用し、最大値または最小値になる点を判定します。

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ステップ 3.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - \frac{5}{3}) \cup (- \frac{5}{3}, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 3.2

一次導関数 $3 x^{2} + 2 x - 5$ の区間 $(- \infty, - \frac{5}{3})$ から $- 4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 3.2.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f' (- 4) = 3 {(- 4)}^{2} + 2 (- 4) - 5$

ステップ 3.2.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$f' (- 4) = 3 \cdot 16 + 2 (- 4) - 5$

ステップ 3.2.2.1.2

$3$ に $16$ をかけます。

$f' (- 4) = 48 + 2 (- 4) - 5$

ステップ 3.2.2.1.3

$2$ に $- 4$ をかけます。

$f' (- 4) = 48 - 8 - 5$

ステップ 3.2.2.2

数を引いて簡約します。

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ステップ 3.2.2.2.1

$48$ から $8$ を引きます。

$f' (- 4) = 40 - 5$

ステップ 3.2.2.2.2

$40$ から $5$ を引きます。

$f' (- 4) = 35$

ステップ 3.2.2.3

最終的な答えは $35$ です。

$35$

ステップ 3.3

一次導関数 $3 x^{2} + 2 x - 5$ の区間 $(- \frac{5}{3}, 1)$ から $0$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 3.3.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} + 2 (0) - 5$

ステップ 3.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f' (0) = 3 \cdot 0 + 2 (0) - 5$

ステップ 3.3.2.1.2

$3$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = 0 + 2 (0) - 5$

ステップ 3.3.2.1.3

$2$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = 0 + 0 - 5$

ステップ 3.3.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 3.3.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f' (0) = 0 - 5$

ステップ 3.3.2.2.2

$0$ から $5$ を引きます。

$f' (0) = - 5$

ステップ 3.3.2.3

最終的な答えは $- 5$ です。

$- 5$

ステップ 3.4

一次導関数 $3 x^{2} + 2 x - 5$ の区間 $(1, \infty)$ から $4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 3.4.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f' (4) = 3 {(4)}^{2} + 2 (4) - 5$

ステップ 3.4.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$f' (4) = 3 \cdot 16 + 2 (4) - 5$

ステップ 3.4.2.1.2

$3$ に $16$ をかけます。

$f' (4) = 48 + 2 (4) - 5$

ステップ 3.4.2.1.3

$2$ に $4$ をかけます。

$f' (4) = 48 + 8 - 5$

ステップ 3.4.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1

$48$ と $8$ をたし算します。

$f' (4) = 56 - 5$

ステップ 3.4.2.2.2

$56$ から $5$ を引きます。

$f' (4) = 51$

ステップ 3.4.2.3

最終的な答えは $51$ です。

$51$

ステップ 3.5

$x = - \frac{5}{3}$ の周囲で一次導関数の符号が正から負に変化したので、 $x = - \frac{5}{3}$ は極大値です。

$x = - \frac{5}{3}$ は極大値です

ステップ 3.6

$x = 1$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = 1$ は極小値です。

$x = 1$ は極小値です

ステップ 3.7

$f (x) = x^{3} + x^{2} - 5 x + 8$ の極値です。

$x = - \frac{5}{3}$ は極大値です

$x = 1$ は極小値です

$x = - \frac{5}{3}$ は極大値です

$x = 1$ は極小値です

ステップ 4

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

絶対最大値はありません

最小値： $(1, 5)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例