微分積分例

$f (x) = - \sqrt{x + 1} + 2$ ; $3 \leq x \leq 10$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $- \sqrt{x + 1} + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 1}] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 1}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 1}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 1}$ を ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [- {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.1.1.2.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.1.1.2.3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 1$ とします。

$- (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.1.1.2.3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.1.1.2.3.3

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$- (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.1.1.2.4

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$- (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.1.1.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.1.1.2.6

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.1.1.2.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.1.1.2.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.1.1.2.9

公分母の分子をまとめます。

$- (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.1.1.2.10

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.1.2.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.1.1.2.10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$- (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.1.1.2.11

分数の前に負数を移動させます。

$- (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.1.1.2.12

$1$ と $0$ をたし算します。

$- (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.1.1.2.13

$\frac{1}{2}$ と ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$- (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.1.1.2.14

$\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.1.1.2.15

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.1.1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.3.1

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 0$

ステップ 1.1.1.3.2

$- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ です。

$- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 1.2.2

分子を0に等しくします。

$1 = 0$

ステップ 1.2.3

$1 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

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ステップ 1.3.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$- \frac{1}{2 \sqrt{{(x + 1)}^{1}}}$

ステップ 1.3.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$- \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$

ステップ 1.3.2

$\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$2 \sqrt{x + 1} = 0$

ステップ 1.3.3

$x$ について解きます。

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ステップ 1.3.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${(2 \sqrt{x + 1})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 1.3.3.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 1}$ を ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 1.3.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.2.2.1

${(2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 1.3.3.2.2.1.1

積の法則を $2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

$2^{2} {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 1.3.3.2.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$4 {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 1.3.3.2.2.1.3

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.3.3.2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 1.3.3.2.2.1.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.3.2.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 1.3.3.2.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$4 {(x + 1)}^{1} = 0^{2}$

ステップ 1.3.3.2.2.1.4

簡約します。

$4 (x + 1) = 0^{2}$

ステップ 1.3.3.2.2.1.5

分配則を当てはめます。

$4 x + 4 \cdot 1 = 0^{2}$

ステップ 1.3.3.2.2.1.6

$4$ に $1$ をかけます。

$4 x + 4 = 0^{2}$

ステップ 1.3.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$4 x + 4 = 0$

ステップ 1.3.3.3

$x$ について解きます。

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ステップ 1.3.3.3.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$4 x = - 4$

ステップ 1.3.3.3.2

$4 x = - 4$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.3.3.3.2.1

$4 x = - 4$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 4}{4}$

ステップ 1.3.3.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.3.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.3.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 4}{4}$

ステップ 1.3.3.3.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 4}{4}$

ステップ 1.3.3.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.3.2.3.1

$- 4$ を $4$ で割ります。

$x = - 1$

ステップ 1.3.4

$\sqrt{x + 1}$ の被開数を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x + 1 < 0$

ステップ 1.3.5

不等式の両辺から $1$ を引きます。

$x < - 1$

ステップ 1.3.6

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x \leq - 1$

$(- \infty, - 1]$

$x \leq - 1$

$(- \infty, - 1]$

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $- \sqrt{x + 1} + 2$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = - 1$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$- 1$ を $x$ に代入します。

$- \sqrt{(- 1) + 1} + 2$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$- \sqrt{0} + 2$

ステップ 1.4.1.2.1.2

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$- \sqrt{0^{2}} + 2$

ステップ 1.4.1.2.1.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$- 0 + 2$

ステップ 1.4.1.2.1.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$0 + 2$

ステップ 1.4.1.2.2

$0$ と $2$ をたし算します。

$2$

ステップ 1.4.2

点のすべてを一覧にします。

$(- 1, 2)$

ステップ 2

区間上にない点を除外します。

ステップ 3

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 3.1

$x = 3$ での値を求めます。

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ステップ 3.1.1

$3$ を $x$ に代入します。

$- \sqrt{(3) + 1} + 2$

ステップ 3.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

$3$ と $1$ をたし算します。

$- \sqrt{4} + 2$

ステップ 3.1.2.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$- \sqrt{2^{2}} + 2$

ステップ 3.1.2.1.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$- 1 \cdot 2 + 2$

ステップ 3.1.2.1.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 + 2$

ステップ 3.1.2.2

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$0$

ステップ 3.2

$x = 10$ での値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$10$ を $x$ に代入します。

$- \sqrt{(10) + 1} + 2$

ステップ 3.2.2

$10$ と $1$ をたし算します。

$- \sqrt{11} + 2$

ステップ 3.3

点のすべてを一覧にします。

$(3, 0), (10, - \sqrt{11} + 2)$

ステップ 4

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(3, 0)$

最小値： $(10, - \sqrt{11} + 2)$

ステップ 5

微分積分 例

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