微分積分例

$f (x) = \sqrt[3]{x - 8} - 1$ ; $[0, 7]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $\sqrt[3]{x - 8} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x - 8}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\sqrt[3]{x - 8}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x - 8}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x - 8}$ を ${(x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x - 8)}^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.1.1.2.2

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ および $g (x) = x - 8$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 8$ とします。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 8) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.1.1.2.2.2

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 8) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.1.1.2.2.3

$u$ のすべての発生を $x - 8$ で置き換えます。

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x - 8)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 8) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.1.1.2.3

総和則では、 $x - 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ です。

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot ({(x - 8)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.1.1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot ({(x - 8)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} (- 8))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.1.1.2.5

$- 8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 8$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot ({(x - 8)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.1.1.2.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot ({(x - 8)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.1.1.2.7

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot ({(x - 8)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.1.1.2.8

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot ({(x - 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.1.1.2.9

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.1.2.9.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot ({(x - 8)}^{\frac{1 - 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.1.1.2.9.2

$1$ から $3$ を引きます。

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot ({(x - 8)}^{\frac{- 2}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.1.1.2.10

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot ({(x - 8)}^{- \frac{2}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.1.1.2.11

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x - 8)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.1.1.2.12

$\frac{1}{3}$ と ${(x - 8)}^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{{(x - 8)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.1.1.2.13

$\frac{{(x - 8)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{{(x - 8)}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.1.1.2.14

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x - 8)}^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.1.1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.3.1

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} + 0$

ステップ 1.1.1.3.2

$\frac{1}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{1}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$ です。

$\frac{1}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{1}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{1}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

ステップ 1.2.2

分子を0に等しくします。

$1 = 0$

ステップ 1.2.3

$1 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{1}{3 \sqrt[3]{{(x - 8)}^{2}}}$

ステップ 1.3.2

$\frac{1}{3 \sqrt[3]{{(x - 8)}^{2}}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$3 \sqrt[3]{{(x - 8)}^{2}} = 0$

ステップ 1.3.3

$x$ について解きます。

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ステップ 1.3.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${(3 \sqrt[3]{{(x - 8)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 1.3.3.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{{(x - 8)}^{2}}$ を ${(x - 8)}^{\frac{2}{3}}$ に書き換えます。

${(3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 1.3.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.2.2.1

${(3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ を簡約します。

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ステップ 1.3.3.2.2.1.1

積の法則を $3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}$ に当てはめます。

$3^{3} {({(x - 8)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 1.3.3.2.2.1.2

$3$ を $3$ 乗します。

$27 {({(x - 8)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 1.3.3.2.2.1.3

${({(x - 8)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.3.3.2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$27 {(x - 8)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 1.3.3.2.2.1.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.3.2.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$27 {(x - 8)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 1.3.3.2.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$27 {(x - 8)}^{2} = 0^{3}$

ステップ 1.3.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$27 {(x - 8)}^{2} = 0$

ステップ 1.3.3.3

$x$ について解きます。

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ステップ 1.3.3.3.1

$27 {(x - 8)}^{2} = 0$ の各項を $27$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.3.3.3.1.1

$27 {(x - 8)}^{2} = 0$ の各項を $27$ で割ります。

$\frac{27 {(x - 8)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

ステップ 1.3.3.3.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.3.1.2.1

$27$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.3.3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{27 {(x - 8)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

ステップ 1.3.3.3.1.2.1.2

${(x - 8)}^{2}$ を $1$ で割ります。

${(x - 8)}^{2} = \frac{0}{27}$

ステップ 1.3.3.3.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.3.1.3.1

$0$ を $27$ で割ります。

${(x - 8)}^{2} = 0$

ステップ 1.3.3.3.2

$x - 8$ が $0$ に等しいとします。

$x - 8 = 0$

ステップ 1.3.3.3.3

方程式の両辺に $8$ を足します。

$x = 8$

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\sqrt[3]{x - 8} - 1$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 8$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$8$ を $x$ に代入します。

$\sqrt[3]{(8) - 8} - 1$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1.1

$8$ から $8$ を引きます。

$\sqrt[3]{0} - 1$

ステップ 1.4.1.2.1.2

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$\sqrt[3]{0^{3}} - 1$

ステップ 1.4.1.2.1.3

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$0 - 1$

ステップ 1.4.1.2.2

$0$ から $1$ を引きます。

$- 1$

ステップ 1.4.2

点のすべてを一覧にします。

$(8, - 1)$

ステップ 2

区間上にない点を除外します。

ステップ 3

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 3.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 3.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$\sqrt[3]{(0) - 8} - 1$

ステップ 3.1.2

簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1.1

$0$ から $8$ を引きます。

$\sqrt[3]{- 8} - 1$

ステップ 3.1.2.1.2

$- 8$ を ${(- 2)}^{3}$ に書き換えます。

$\sqrt[3]{{(- 2)}^{3}} - 1$

ステップ 3.1.2.1.3

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$- 2 - 1$

ステップ 3.1.2.2

$- 2$ から $1$ を引きます。

$- 3$

ステップ 3.2

$x = 7$ での値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$7$ を $x$ に代入します。

$\sqrt[3]{(7) - 8} - 1$

ステップ 3.2.2

簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$7$ から $8$ を引きます。

$\sqrt[3]{- 1} - 1$

ステップ 3.2.2.1.2

$- 1$ を ${(- 1)}^{3}$ に書き換えます。

$\sqrt[3]{{(- 1)}^{3}} - 1$

ステップ 3.2.2.1.3

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$- 1 - 1$

ステップ 3.2.2.2

$- 1$ から $1$ を引きます。

$- 2$

ステップ 3.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, - 3), (7, - 2)$

ステップ 4

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(7, - 2)$

最小値： $(0, - 3)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例