微分積分例

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.3

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.3.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 1.3.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = 1 - \ln (x)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.2.2

総和則では、 $1 - \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ です。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.2.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.2.4

$0$ と $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (- \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.2.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \ln (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- \frac{d}{d x} \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- \frac{1}{x}) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.4

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$x^{2}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2}}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.4.2

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.4.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.4.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.4.2.2.3

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.4.2.2.4

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- \frac{x}{1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.4.2.2.5

$x$ を $1$ で割ります。

$f'' (x) = \frac{- x - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.4.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{- x - (1 - \ln (x)) (2 x)}{x^{4}}$

ステップ 2.4.4

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- x - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

ステップ 2.4.4.2

$x$ を $- x - 2 (1 - \ln (x)) x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.2.1

$x$ を $- x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 1 - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

ステップ 2.4.4.2.2

$x$ を $- 2 (1 - \ln (x)) x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

ステップ 2.4.4.2.3

$x$ を $x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

ステップ 2.5

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 2.5.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 2.5.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 (1 - \ln (x))}{x^{3}}$

ステップ 2.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 \cdot 1 - 2 (- \ln (x))}{x^{3}}$

ステップ 2.6.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1.1

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 - 2 (- \ln (x))}{x^{3}}$

ステップ 2.6.2.1.2

$- 2 (- \ln (x))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1.2.1

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 + 2 \ln (x)}{x^{3}}$

ステップ 2.6.2.1.2.2

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (x)$ を簡約します。

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

ステップ 2.6.2.2

$- 1$ から $2$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{- 3 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

ステップ 2.6.3

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 3 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

ステップ 2.6.4

$- 1$ を $\ln (x^{2})$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

ステップ 2.6.5

$- 1$ を $- 1 (3) - 1 (- \ln (x^{2}))$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{- 1 (3 - \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

ステップ 2.6.6

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.1.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.1.3

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.1.3.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.1.3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 4.1.3.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ です。

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$

ステップ 5.2

分子を0に等しくします。

$1 - \ln (x) = 0$

ステップ 5.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- \ln (x) = - 1$

ステップ 5.3.2

$- \ln (x) = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$- \ln (x) = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \ln (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 5.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\ln (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 5.3.2.2.2

$\ln (x)$ を $1$ で割ります。

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 5.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$\ln (x) = 1$

ステップ 5.3.3

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x)} = e^{1}$

ステップ 5.3.4

対数の定義を利用して $\ln (x) = 1$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{1} = x$

ステップ 5.3.5

方程式を $x = e^{1}$ として書き換えます。

$x = e$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} = 0$

ステップ 6.2

$x$ について解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 6.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 6.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 6.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 6.3

$\ln (x)$ の偏角を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x \leq 0$

ステップ 6.4

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = e$

ステップ 8

$x = e$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{3 - \ln ({(e)}^{2})}{{(e)}^{3}}$

ステップ 9

分子を簡約します。

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ステップ 9.1

対数の法則を利用して指数の外に $2$ を移動します。

$- \frac{3 - (2 \ln (e))}{e^{3}}$

ステップ 9.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$- \frac{3 - (2 \cdot 1)}{e^{3}}$

ステップ 9.3

$2$ に $1$ をかけます。

$- \frac{3 - 1 \cdot 2}{e^{3}}$

ステップ 9.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- \frac{3 - 2}{e^{3}}$

ステップ 9.5

$3$ から $2$ を引きます。

$- \frac{1}{e^{3}}$

ステップ 10

$x = e$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = e$ は極大値です

ステップ 11

$x = e$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $e$ で置換えます。

$f (e) = \frac{\ln (e)}{e}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f (e) = \frac{1}{e}$

ステップ 11.2.2

最終的な答えは $\frac{1}{e}$ です。

$y = \frac{1}{e}$

ステップ 12

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$ の極値です。

$(e, \frac{1}{e})$ は極大値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例