微分積分例

f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 7

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 7$ ;

- 1 \leq x \leq 6

$- 1 \leq x \leq 6$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1.1

総和則では、

x^{3} - 6 x^{2} + 7

$x^{3} - 6 x^{2} + 7$ の

x

$x$ に関する積分は

\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ です。

\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.1.1.1.2

n = 3

$n = 3$ のとき、

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$

3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.1.1.2

\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

- 6

$- 6$ は

x

$x$ に対して定数なので、

x

$x$ に対する

- 6 x^{2}

$- 6 x^{2}$ の微分係数は

- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]

$- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.1.1.2.2

n = 2

$n = 2$ のとき、

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [7]

$3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.1.1.2.3

2

$2$ に

- 6

$- 6$ をかけます。

3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [7]

$3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [7]$

3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [7]

$3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.1.1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.3.1

7

$7$ は

x

$x$ について定数なので、

x

$x$ について

7

$7$ の微分係数は

0

$0$ です。

3 x^{2} - 12 x + 0

$3 x^{2} - 12 x + 0$

ステップ 1.1.1.3.2

3 x^{2} - 12 x

$3 x^{2} - 12 x$ と

0

$0$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する

$f (x)$ の一次導関数は

$3 x^{2} - 12 x$ です。

$3 x^{2} - 12 x$

ステップ 1.2

一次導関数を

$0$ と等しくし、次に方程式

$3 x^{2} - 12 x = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を

$0$ に等しくします。

$3 x^{2} - 12 x = 0$

ステップ 1.2.2

$3 x$ を

$3 x^{2} - 12 x$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

$3 x$ を

$3 x^{2}$ で因数分解します。

$3 x (x) - 12 x = 0$

ステップ 1.2.2.2

$3 x$ を

$- 12 x$ で因数分解します。

$3 x (x) + 3 x (- 4) = 0$

ステップ 1.2.2.3

$3 x$ を

$3 x (x) + 3 x (- 4)$ で因数分解します。

$3 x (x - 4) = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺の個々の因数が

$0$ と等しいならば、式全体は

$0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 4 = 0$

ステップ 1.2.4

$x$ が

$0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 1.2.5

$x - 4$ を

$0$ に等しくし、

$x$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.1

$x - 4$ が

$0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 1.2.5.2

方程式の両辺に

$4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 1.2.6

最終解は

$3 x (x - 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 4$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が

$0$ または未定義のとき、各

$x$ における

$x^{3} - 6 x^{2} + 7$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$0$ を

$x$ に代入します。

${(0)}^{3} - 6 {(0)}^{2} + 7$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、

$0$ を得ます。

$0 - 6 {(0)}^{2} + 7$

ステップ 1.4.1.2.1.2

$0$ を正数乗し、

$0$ を得ます。

$0 - 6 \cdot 0 + 7$

ステップ 1.4.1.2.1.3

$- 6$ に

$0$ をかけます。

$0 + 0 + 7$

ステップ 1.4.1.2.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.2.1

$0$ と

$0$ をたし算します。

$0 + 7$

ステップ 1.4.1.2.2.2

$0$ と

$7$ をたし算します。

$7$

ステップ 1.4.2

$x = 4$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.2.1

$4$ を

$x$ に代入します。

${(4)}^{3} - 6 {(4)}^{2} + 7$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.1

$4$ を

$3$ 乗します。

$64 - 6 {(4)}^{2} + 7$

ステップ 1.4.2.2.1.2

$4$ を

$2$ 乗します。

$64 - 6 \cdot 16 + 7$

ステップ 1.4.2.2.1.3

$- 6$ に

$16$ をかけます。

$64 - 96 + 7$

ステップ 1.4.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.2.1

$64$ から

$96$ を引きます。

$- 32 + 7$

ステップ 1.4.2.2.2.2

$- 32$ と

$7$ をたし算します。

$- 25$

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, 7), (4, - 25)$

ステップ 2

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 2.1

$x = - 1$ での値を求めます。

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ステップ 2.1.1

$- 1$ を

$x$ に代入します。

${(- 1)}^{3} - 6 {(- 1)}^{2} + 7$

ステップ 2.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

$- 1$ を

$3$ 乗します。

$- 1 - 6 {(- 1)}^{2} + 7$

ステップ 2.1.2.1.2

$- 1$ を

$2$ 乗します。

$- 1 - 6 \cdot 1 + 7$

ステップ 2.1.2.1.3

$- 6$ に

$1$ をかけます。

$- 1 - 6 + 7$

ステップ 2.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

$- 1$ から

$6$ を引きます。

$- 7 + 7$

ステップ 2.1.2.2.2

$- 7$ と

$7$ をたし算します。

$0$

ステップ 2.2

$x = 6$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$6$ を

$x$ に代入します。

${(6)}^{3} - 6 {(6)}^{2} + 7$

ステップ 2.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

$6$ を

$3$ 乗します。

$216 - 6 {(6)}^{2} + 7$

ステップ 2.2.2.1.2

$6$ を

$2$ 乗します。

$216 - 6 \cdot 36 + 7$

ステップ 2.2.2.1.3

$- 6$ に

$36$ をかけます。

$216 - 216 + 7$

ステップ 2.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1

$216$ から

$216$ を引きます。

$0 + 7$

ステップ 2.2.2.2.2

$0$ と

$7$ をたし算します。

$7$

ステップ 2.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 1, 0), (6, 7)$

ステップ 3

$x$ の各値に対して求めた

$f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い

$f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い

$f (x)$ の値で発生します。

最大値：

$(0, 7), (6, 7)$

最小値：

$(4, - 25)$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例