微分積分例

$f (x) = \cos (x) - x$ , $[\frac{π}{2}, 2 π]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $\cos (x) - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.1.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \sin (x) - \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \sin (x) - 1 \cdot 1$

ステップ 1.1.1.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \sin (x) - 1$

ステップ 1.1.1.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = - 1 - \sin (x)$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 1 - \sin (x)$ です。

$- 1 - \sin (x)$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 1 - \sin (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 1 - \sin (x) = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$- \sin (x) = 1$

ステップ 1.2.3

$- \sin (x) = 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$- \sin (x) = 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

ステップ 1.2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

ステップ 1.2.3.2.2

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (x) = \frac{1}{- 1}$

ステップ 1.2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.3.1

$1$ を $- 1$ で割ります。

$\sin (x) = - 1$

ステップ 1.2.4

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (- 1)$

ステップ 1.2.5

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.5.1

$\arcsin (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{2}$ です。

$x = - \frac{π}{2}$

ステップ 1.2.6

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

ステップ 1.2.7

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 1.2.7.1

$2 π + \frac{π}{2} + π$ から $2 π$ を引きます。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

ステップ 1.2.7.2

$\frac{3 π}{2}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{2} + π$ と隣接します。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 1.2.8

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 1.2.8.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 1.2.8.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 1.2.8.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 1.2.8.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 1.2.9

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 1.2.9.1

$2 π$ を $- \frac{π}{2}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{2} + 2 π$

ステップ 1.2.9.2

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 1.2.9.3

分数をまとめます。

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ステップ 1.2.9.3.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 1.2.9.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 1.2.9.4

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.9.4.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 π - π}{2}$

ステップ 1.2.9.4.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{3 π}{2}$

ステップ 1.2.9.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 1.2.10

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.2.11

答えをまとめます。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\cos (x) - x$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = \frac{3 π}{2}$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$\frac{3 π}{2}$ を $x$ に代入します。

$\cos (\frac{3 π}{2}) - (\frac{3 π}{2})$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$\cos (\frac{π}{2}) - (\frac{3 π}{2})$

ステップ 1.4.1.2.1.2

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$0 - \frac{3 π}{2}$

ステップ 1.4.1.2.2

$0$ から $\frac{3 π}{2}$ を引きます。

$- \frac{3 π}{2}$

ステップ 1.4.2

$x = \frac{7 π}{2}$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.2.1

$\frac{7 π}{2}$ を $x$ に代入します。

$\cos (\frac{7 π}{2}) - (\frac{7 π}{2})$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\cos (\frac{3 π}{2}) - (\frac{7 π}{2})$

ステップ 1.4.2.2.1.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$\cos (\frac{π}{2}) - (\frac{7 π}{2})$

ステップ 1.4.2.2.1.3

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$0 - \frac{7 π}{2}$

ステップ 1.4.2.2.2

$0$ から $\frac{7 π}{2}$ を引きます。

$- \frac{7 π}{2}$

ステップ 1.4.3

$x = \frac{11 π}{2}$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.3.1

$\frac{11 π}{2}$ を $x$ に代入します。

$\cos (\frac{11 π}{2}) - (\frac{11 π}{2})$

ステップ 1.4.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.1.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\cos (\frac{3 π}{2}) - (\frac{11 π}{2})$

ステップ 1.4.3.2.1.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$\cos (\frac{π}{2}) - (\frac{11 π}{2})$

ステップ 1.4.3.2.1.3

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$0 - \frac{11 π}{2}$

ステップ 1.4.3.2.2

$0$ から $\frac{11 π}{2}$ を引きます。

$- \frac{11 π}{2}$

ステップ 1.4.4

$x = \frac{15 π}{2}$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.4.1

$\frac{15 π}{2}$ を $x$ に代入します。

$\cos (\frac{15 π}{2}) - (\frac{15 π}{2})$

ステップ 1.4.4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.4.2.1.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\cos (\frac{3 π}{2}) - (\frac{15 π}{2})$

ステップ 1.4.4.2.1.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$\cos (\frac{π}{2}) - (\frac{15 π}{2})$

ステップ 1.4.4.2.1.3

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$0 - \frac{15 π}{2}$

ステップ 1.4.4.2.2

$0$ から $\frac{15 π}{2}$ を引きます。

$- \frac{15 π}{2}$

ステップ 1.4.5

$x = \frac{19 π}{2}$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.5.1

$\frac{19 π}{2}$ を $x$ に代入します。

$\cos (\frac{19 π}{2}) - (\frac{19 π}{2})$

ステップ 1.4.5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.5.2.1.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\cos (\frac{3 π}{2}) - (\frac{19 π}{2})$

ステップ 1.4.5.2.1.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$\cos (\frac{π}{2}) - (\frac{19 π}{2})$

ステップ 1.4.5.2.1.3

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$0 - \frac{19 π}{2}$

ステップ 1.4.5.2.2

$0$ から $\frac{19 π}{2}$ を引きます。

$- \frac{19 π}{2}$

ステップ 1.4.6

点のすべてを一覧にします。

$(\frac{3 π}{2}, - \frac{3 π}{2}), (\frac{7 π}{2}, - \frac{7 π}{2}), (\frac{11 π}{2}, - \frac{11 π}{2}), (\frac{15 π}{2}, - \frac{15 π}{2}), (\frac{19 π}{2}, - \frac{19 π}{2})$

ステップ 2

区間上にない点を除外します。

$(\frac{3 π}{2}, - \frac{3 π}{2})$

ステップ 3

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 3.1

$x = \frac{π}{2}$ での値を求めます。

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ステップ 3.1.1

$\frac{π}{2}$ を $x$ に代入します。

$\cos (\frac{π}{2}) - (\frac{π}{2})$

ステップ 3.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$0 - \frac{π}{2}$

ステップ 3.1.2.2

$0$ から $\frac{π}{2}$ を引きます。

$- \frac{π}{2}$

ステップ 3.2

$x = 2 π$ での値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$2 π$ を $x$ に代入します。

$\cos (2 π) - (2 π)$

ステップ 3.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\cos (0) - (2 π)$

ステップ 3.2.2.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$1 - (2 π)$

ステップ 3.2.2.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$1 - 2 π$

ステップ 3.3

点のすべてを一覧にします。

$(\frac{π}{2}, - \frac{π}{2}), (2 π, 1 - 2 π)$

ステップ 4

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(\frac{π}{2}, - \frac{π}{2})$

最小値： $(2 π, 1 - 2 π)$

ステップ 5

微分積分 例

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