微分積分例

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 12$ , $(- 2, 4)$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1.1

総和則では、 $x^{3} - 3 x^{2} + 12$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

ステップ 1.1.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{2}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [12]$

ステップ 1.1.1.2.3

$2$ に $- 3$ をかけます。

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [12]$

ステップ 1.1.1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.3.1

$12$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $12$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} - 6 x + 0$

ステップ 1.1.1.3.2

$3 x^{2} - 6 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} - 6 x$ です。

$3 x^{2} - 6 x$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} - 6 x = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} - 6 x = 0$

ステップ 1.2.2

$3 x$ を $3 x^{2} - 6 x$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

$3 x$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$3 x (x) - 6 x = 0$

ステップ 1.2.2.2

$3 x$ を $- 6 x$ で因数分解します。

$3 x (x) + 3 x (- 2) = 0$

ステップ 1.2.2.3

$3 x$ を $3 x (x) + 3 x (- 2)$ で因数分解します。

$3 x (x - 2) = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 1.2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 1.2.5

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 1.2.5.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 1.2.6

最終解は $3 x (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 2$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{3} - 3 x^{2} + 12$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

${(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} + 12$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 3 {(0)}^{2} + 12$

ステップ 1.4.1.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 3 \cdot 0 + 12$

ステップ 1.4.1.2.1.3

$- 3$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 12$

ステップ 1.4.1.2.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 12$

ステップ 1.4.1.2.2.2

$0$ と $12$ をたし算します。

$12$

ステップ 1.4.2

$x = 2$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.2.1

$2$ を $x$ に代入します。

${(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} + 12$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

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ステップ 1.4.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.2.2.1.1

$2$ を $3$ 乗します。

$8 - 3 {(2)}^{2} + 12$

ステップ 1.4.2.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$8 - 3 \cdot 4 + 12$

ステップ 1.4.2.2.1.3

$- 3$ に $4$ をかけます。

$8 - 12 + 12$

ステップ 1.4.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 1.4.2.2.2.1

$8$ から $12$ を引きます。

$- 4 + 12$

ステップ 1.4.2.2.2.2

$- 4$ と $12$ をたし算します。

$8$

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, 12), (2, 8)$

ステップ 2

一次導関数検定を利用し、最大値または最小値になる点を判定します。

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ステップ 2.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

ステップ 2.2

一次導関数 $3 x^{2} - 6 x$ の区間 $(- \infty, 0)$ から $- 2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 2.2.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f' (- 2) = 3 {(- 2)}^{2} - 6 \cdot - 2$

ステップ 2.2.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f' (- 2) = 3 \cdot 4 - 6 \cdot - 2$

ステップ 2.2.2.1.2

$3$ に $4$ をかけます。

$f' (- 2) = 12 - 6 \cdot - 2$

ステップ 2.2.2.1.3

$- 6$ に $- 2$ をかけます。

$f' (- 2) = 12 + 12$

ステップ 2.2.2.2

$12$ と $12$ をたし算します。

$f' (- 2) = 24$

ステップ 2.2.2.3

最終的な答えは $24$ です。

$24$

ステップ 2.3

一次導関数 $3 x^{2} - 6 x$ の区間 $(0, 2)$ から $1$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 2.3.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = 3 {(1)}^{2} - 6 \cdot 1$

ステップ 2.3.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = 3 \cdot 1 - 6 \cdot 1$

ステップ 2.3.2.1.2

$3$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = 3 - 6 \cdot 1$

ステップ 2.3.2.1.3

$- 6$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = 3 - 6$

ステップ 2.3.2.2

$3$ から $6$ を引きます。

$f' (1) = - 3$

ステップ 2.3.2.3

最終的な答えは $- 3$ です。

$- 3$

ステップ 2.4

一次導関数 $3 x^{2} - 6 x$ の区間 $(2, \infty)$ から $4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 2.4.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f' (4) = 3 {(4)}^{2} - 6 \cdot 4$

ステップ 2.4.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$f' (4) = 3 \cdot 16 - 6 \cdot 4$

ステップ 2.4.2.1.2

$3$ に $16$ をかけます。

$f' (4) = 48 - 6 \cdot 4$

ステップ 2.4.2.1.3

$- 6$ に $4$ をかけます。

$f' (4) = 48 - 24$

ステップ 2.4.2.2

$48$ から $24$ を引きます。

$f' (4) = 24$

ステップ 2.4.2.3

最終的な答えは $24$ です。

$24$

ステップ 2.5

$x = 0$ の周囲で一次導関数の符号が正から負に変化したので、 $x = 0$ は極大値です。

$x = 0$ は極大値です

ステップ 2.6

$x = 2$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = 2$ は極小値です。

$x = 2$ は極小値です

ステップ 2.7

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 12$ の極値です。

$x = 0$ は極大値です

$x = 2$ は極小値です

$x = 0$ は極大値です

$x = 2$ は極小値です

ステップ 3

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(0, 12)$

最小値： $(2, 8)$

ステップ 4

微分積分 例

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