微分積分例

$f (x) = \sqrt{4 - x^{2}}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{4 - x^{2}}$ を ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 4 - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 - x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

ステップ 1.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $4 - x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

ステップ 1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

ステップ 1.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

ステップ 1.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

ステップ 1.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

ステップ 1.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

ステップ 1.7

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

ステップ 1.7.2

$\frac{1}{2}$ と ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

ステップ 1.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

ステップ 1.8

総和則では、 $4 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 1.9

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 1.10

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.11

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 1.12

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

ステップ 1.13

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.13.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

ステップ 1.13.2

$- 2$ と $\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

ステップ 1.13.3

$\frac{- 2}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{- 2 x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.13.4

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.14

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.14.1

$2$ を $2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x)}{2 ({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 1.14.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.14.3

式を書き換えます。

$\frac{- x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.15

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.3

${({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

共通因数を約分します。

ステップ 2.3.2.2

式を書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.4

簡約します。

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.5

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.5.2

${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.6

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 4 - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 - x^{2}$ とします。

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (4 - x^{2}))}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.6.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x^{2}))}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.6.3

$u$ のすべての発生を $4 - x^{2}$ で置き換えます。

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x^{2}))}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2}))}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2}))}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.9

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2}))}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2}))}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2}))}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.11

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2}))}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.11.2

$\frac{1}{2}$ と ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x^{2}))}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.11.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x^{2}))}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.11.4

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x^{2})}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.12

総和則では、 $4 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.13

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.14

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2})}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.15

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2})}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.16

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.16.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1 (\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.16.2

$\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.17

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.18

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.1

$2$ と $\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.18.2

$\frac{2 x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x \cdot x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.19

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (x \cdot x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.20

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (x \cdot x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.21

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.22

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.23

共通因数を約分します。

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.24

式を書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.25

${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.26

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.27

指数を足して ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.27.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.27.2

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} + x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.27.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{2}{2}} + x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.27.4

$2$ を $2$ で割ります。

$f'' (x) = - \frac{\frac{(4 - x^{2}) + x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.28

${(4 - x^{2})}^{1}$ を簡約します。

$f'' (x) = - \frac{\frac{4 - x^{2} + x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.29

$- x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{\frac{4 + 0}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.30

$4$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.31

$\frac{\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$ を積として書き換えます。

$f'' (x) = - (\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{4 - x^{2}}) + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.32

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{4 - x^{2}}$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (4 - x^{2})} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.33

指数を足して ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に $4 - x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.33.1

${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に $4 - x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.33.1.1

$4 - x^{2}$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - \frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (4 - x^{2})} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.33.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - \frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.33.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f'' (x) = - \frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.33.3

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.33.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.34

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - \frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

ステップ 2.35

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.35.1

$\frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ に $0$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + 0$

ステップ 2.35.2

$- \frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{4 - x^{2}}$ を ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.1.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 4 - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 - x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

ステップ 4.1.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

ステップ 4.1.2.3

$u$ のすべての発生を $4 - x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

ステップ 4.1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

ステップ 4.1.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

ステップ 4.1.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

ステップ 4.1.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

ステップ 4.1.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

ステップ 4.1.7

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

ステップ 4.1.7.2

$\frac{1}{2}$ と ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

ステップ 4.1.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

ステップ 4.1.8

総和則では、 $4 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 4.1.9

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 4.1.10

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 4.1.11

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.1.12

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

ステップ 4.1.13

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.13.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

ステップ 4.1.13.2

$- 2$ と $\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

ステップ 4.1.13.3

$\frac{- 2}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{- 2 x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.13.4

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.14

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.14.1

$2$ を $2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x)}{2 ({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 4.1.14.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.14.3

式を書き換えます。

$\frac{- x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.15

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ です。

$- \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 5.2

分子を0に等しくします。

$x = 0$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$- \frac{x}{\sqrt{{(4 - x^{2})}^{1}}}$

ステップ 6.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$- \frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}}$

ステップ 6.2

$\frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt{4 - x^{2}} = 0$

ステップ 6.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{4 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{4 - x^{2}}$ を ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1

${({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.1

${({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(4 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2.1.2

簡約します。

$4 - x^{2} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$4 - x^{2} = 0$

ステップ 6.3.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$- x^{2} = - 4$

ステップ 6.3.3.2

$- x^{2} = - 4$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.2.1

$- x^{2} = - 4$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 6.3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 6.3.3.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 6.3.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.2.3.1

$- 4$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} = 4$

ステップ 6.3.3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{4}$

ステップ 6.3.3.4

$\pm \sqrt{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.4.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

ステップ 6.3.3.4.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 2$

ステップ 6.3.3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2$

ステップ 6.3.3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2$

ステップ 6.3.3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2, - 2$

ステップ 6.4

$\sqrt{4 - x^{2}}$ の被開数を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$4 - x^{2} < 0$

ステップ 6.5

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

不等式の両辺から $4$ を引きます。

$- x^{2} < - 4$

ステップ 6.5.2

$- x^{2} < - 4$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.1

$- x^{2} < - 4$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 6.5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 6.5.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} > \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 6.5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.3.1

$- 4$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} > 4$

ステップ 6.5.3

不等式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{4}$

ステップ 6.5.4

方程式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.4.1.1

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | > \sqrt{4}$

ステップ 6.5.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.4.2.1

$\sqrt{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.4.2.1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$| x | > \sqrt{2^{2}}$

ステップ 6.5.4.2.1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | > | 2 |$

ステップ 6.5.4.2.1.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$| x | > 2$

ステップ 6.5.5

$| x | > 2$ を区分で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.5.1

1番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負でない場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 6.5.5.2

$x$ が負でない区分では、絶対値を削除します。

$x > 2$

ステップ 6.5.5.3

2番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負になる場所を求めます。

$x < 0$

ステップ 6.5.5.4

$x$ が負である区分では、絶対値を取り除き $- 1$ を掛けます。

$- x > 2$

ステップ 6.5.5.5

区分で書きます。

${\begin{cases} x > 2 & x \geq 0 \\ - x > 2 & x < 0 \end{cases}$

ステップ 6.5.6

$x > 2$ と $x \geq 0$ の交点を求めます。

$x > 2$

ステップ 6.5.7

$- x > 2$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.7.1

$- x > 2$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x}{- 1} < \frac{2}{- 1}$

ステップ 6.5.7.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.7.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} < \frac{2}{- 1}$

ステップ 6.5.7.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x < \frac{2}{- 1}$

ステップ 6.5.7.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.7.3.1

$2$ を $- 1$ で割ります。

$x < - 2$

ステップ 6.5.8

解の和集合を求めます。

$x < - 2$ または $x > 2$

ステップ 6.6

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x \leq - 2, x \geq 2$

$(- \infty, - 2] \cup [2, \infty)$

$x \leq - 2, x \geq 2$

$(- \infty, - 2] \cup [2, \infty)$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0, - 2, 2$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{4}{{(4 - {(0)}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- \frac{4}{{(4 - 0)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.1.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$- \frac{4}{{(4 + 0)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.2

$4$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{4}{4^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.3

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{4}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.4

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{4}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

ステップ 9.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.5.1

共通因数を約分します。

$- \frac{4}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

ステップ 9.1.5.2

式を書き換えます。

$- \frac{4}{2^{3}}$

ステップ 9.1.6

$2$ を $3$ 乗します。

$- \frac{4}{8}$

ステップ 9.2

$4$ と $8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$- \frac{4 (1)}{8}$

ステップ 9.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$- \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

ステップ 9.2.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

ステップ 9.2.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{1}{2}$

ステップ 10

$x = 0$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極大値です

ステップ 11

$x = 0$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \sqrt{4 - {(0)}^{2}}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = \sqrt{4 - 0}$

ステップ 11.2.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f (0) = \sqrt{4 + 0}$

ステップ 11.2.3

$4$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = \sqrt{4}$

ステップ 11.2.4

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f (0) = \sqrt{2^{2}}$

ステップ 11.2.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (0) = 2$

ステップ 11.2.6

最終的な答えは $2$ です。

$y = 2$

ステップ 12

$x = - 2$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{4}{{(4 - {(- 2)}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 13.1

各項を簡約します。

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ステップ 13.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$- \frac{4}{{(4 - 1 \cdot 4)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.1.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$- \frac{4}{{(4 - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 13.2.1

$4$ から $4$ を引きます。

$- \frac{4}{0^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.2

式を簡約します。

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ステップ 13.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{4}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{4}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

ステップ 13.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.2.3.1

共通因数を約分します。

$- \frac{4}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

ステップ 13.2.3.2

式を書き換えます。

$- \frac{4}{0^{3}}$

ステップ 13.2.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- \frac{4}{0}$

ステップ 13.2.5

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$- \frac{4}{0}$

ステップ 13.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 14

一次導関数検定ができなかったので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 15

微分積分 例

微分積分例