微分積分例

$h (x) = x^{3} e^{x}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

項を並べ替えます。

$e^{x} x^{3} + 3 e^{x} x^{2}$

ステップ 1.4.2

$e^{x} x^{3} + 3 e^{x} x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{x}]$ です。

$h'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3} e^{x}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} e^{x})$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$h'' (x) = x^{3} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} e^{x})$

ステップ 2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$h'' (x) = x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} e^{x})$

ステップ 2.2.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$h'' (x) = x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} e^{x})$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2} e^{x}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ です。

$h'' (x) = x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x})$

ステップ 2.3.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$h'' (x) = x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}))$

ステップ 2.3.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$h'' (x) = x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}))$

ステップ 2.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$h'' (x) = x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x))$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$h'' (x) = x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 (x^{2} e^{x}) + 3 (e^{x} (2 x))$

ステップ 2.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$2$ に $3$ をかけます。

$h'' (x) = x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 x^{2} e^{x} + 6 (e^{x} (x))$

ステップ 2.4.2.2

$e^{x} (3 x^{2})$ と $3 x^{2} e^{x}$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1

$e^{x}$ を移動させます。

$h'' (x) = x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} + 6 e^{x} x$

ステップ 2.4.2.2.2

$3 x^{2} e^{x}$ と $3 x^{2} e^{x}$ をたし算します。

$h'' (x) = x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + 6 e^{x} x$

ステップ 2.4.3

項を並べ替えます。

$h'' (x) = e^{x} x^{3} + 6 e^{x} x^{2} + 6 e^{x} x$

ステップ 2.4.4

$e^{x} x^{3} + 6 e^{x} x^{2} + 6 e^{x} x$ の因数を並べ替えます。

$h'' (x) = x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 4.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 4.1.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})$

ステップ 4.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

項を並べ替えます。

$e^{x} x^{3} + 3 e^{x} x^{2}$

ステップ 4.1.4.2

$e^{x} x^{3} + 3 e^{x} x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $h (x)$ の一次導関数は $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$ です。

$x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} = 0$

ステップ 5.2

$x^{2} e^{x}$ を $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$x^{2} e^{x}$ を $x^{3} e^{x}$ で因数分解します。

$x^{2} e^{x} (x) + 3 x^{2} e^{x} = 0$

ステップ 5.2.2

$x^{2} e^{x}$ を $3 x^{2} e^{x}$ で因数分解します。

$x^{2} e^{x} (x) + x^{2} e^{x} (3) = 0$

ステップ 5.2.3

$x^{2} e^{x}$ を $x^{2} e^{x} (x) + x^{2} e^{x} (3)$ で因数分解します。

$x^{2} e^{x} (x + 3) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 3 = 0$

ステップ 5.4

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 5.4.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 5.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 5.4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 5.4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 5.4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 5.5

$e^{x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$e^{x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{x} = 0$

ステップ 5.5.2

$x$ について $e^{x} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

ステップ 5.5.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 5.5.2.3

$e^{x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 5.6

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 5.6.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 5.7

最終解は $x^{2} e^{x} (x + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 3$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0, - 3$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

${(0)}^{3} e^{0} + 6 {(0)}^{2} e^{0} + 6 (0) e^{0}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 e^{0} + 6 {(0)}^{2} e^{0} + 6 (0) e^{0}$

ステップ 9.1.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$0 \cdot 1 + 6 {(0)}^{2} e^{0} + 6 (0) e^{0}$

ステップ 9.1.3

$0$ に $1$ をかけます。

$0 + 6 {(0)}^{2} e^{0} + 6 (0) e^{0}$

ステップ 9.1.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + 6 \cdot 0 e^{0} + 6 (0) e^{0}$

ステップ 9.1.5

$6$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 e^{0} + 6 (0) e^{0}$

ステップ 9.1.6

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$0 + 0 \cdot 1 + 6 (0) e^{0}$

ステップ 9.1.7

$0$ に $1$ をかけます。

$0 + 0 + 6 (0) e^{0}$

ステップ 9.1.8

$6$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 0 e^{0}$

ステップ 9.1.9

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$0 + 0 + 0 \cdot 1$

ステップ 9.1.10

$0$ に $1$ をかけます。

$0 + 0 + 0$

ステップ 9.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 0$

ステップ 9.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

ステップ 10

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

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ステップ 10.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 10.2

一次導関数 $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$ の区間 $(- \infty, - 3)$ から $- 6$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

式の変数 $x$ を $- 6$ で置換えます。

$h' (- 6) = {(- 6)}^{3} e^{- 6} + 3 {(- 6)}^{2} e^{- 6}$

ステップ 10.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1.1

$- 6$ を $3$ 乗します。

$h' (- 6) = - 216 e^{- 6} + 3 {(- 6)}^{2} e^{- 6}$

ステップ 10.2.2.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$h' (- 6) = - 216 \frac{1}{e^{6}} + 3 {(- 6)}^{2} e^{- 6}$

ステップ 10.2.2.1.3

$- 216$ と $\frac{1}{e^{6}}$ をまとめます。

$h' (- 6) = \frac{- 216}{e^{6}} + 3 {(- 6)}^{2} e^{- 6}$

ステップ 10.2.2.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$h' (- 6) = - \frac{216}{e^{6}} + 3 {(- 6)}^{2} e^{- 6}$

ステップ 10.2.2.1.5

$- 6$ を $2$ 乗します。

$h' (- 6) = - \frac{216}{e^{6}} + 3 \cdot (36 e^{- 6})$

ステップ 10.2.2.1.6

$3$ に $36$ をかけます。

$h' (- 6) = - \frac{216}{e^{6}} + 108 e^{- 6}$

ステップ 10.2.2.1.7

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$h' (- 6) = - \frac{216}{e^{6}} + 108 (\frac{1}{e^{6}})$

ステップ 10.2.2.1.8

$108$ と $\frac{1}{e^{6}}$ をまとめます。

$h' (- 6) = - \frac{216}{e^{6}} + \frac{108}{e^{6}}$

ステップ 10.2.2.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$h' (- 6) = \frac{- 216 + 108}{e^{6}}$

ステップ 10.2.2.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.2.2.1

$- 216$ と $108$ をたし算します。

$h' (- 6) = \frac{- 108}{e^{6}}$

ステップ 10.2.2.2.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$h' (- 6) = - \frac{108}{e^{6}}$

ステップ 10.2.2.3

最終的な答えは $- \frac{108}{e^{6}}$ です。

$- \frac{108}{e^{6}}$

ステップ 10.3

一次導関数 $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$ の区間 $(- 3, 0)$ から $- 2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$h' (- 2) = {(- 2)}^{3} e^{- 2} + 3 {(- 2)}^{2} e^{- 2}$

ステップ 10.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1.1

$- 2$ を $3$ 乗します。

$h' (- 2) = - 8 e^{- 2} + 3 {(- 2)}^{2} e^{- 2}$

ステップ 10.3.2.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$h' (- 2) = - 8 \frac{1}{e^{2}} + 3 {(- 2)}^{2} e^{- 2}$

ステップ 10.3.2.1.3

$- 8$ と $\frac{1}{e^{2}}$ をまとめます。

$h' (- 2) = \frac{- 8}{e^{2}} + 3 {(- 2)}^{2} e^{- 2}$

ステップ 10.3.2.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$h' (- 2) = - \frac{8}{e^{2}} + 3 {(- 2)}^{2} e^{- 2}$

ステップ 10.3.2.1.5

$- 2$ を $2$ 乗します。

$h' (- 2) = - \frac{8}{e^{2}} + 3 \cdot (4 e^{- 2})$

ステップ 10.3.2.1.6

$3$ に $4$ をかけます。

$h' (- 2) = - \frac{8}{e^{2}} + 12 e^{- 2}$

ステップ 10.3.2.1.7

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$h' (- 2) = - \frac{8}{e^{2}} + 12 (\frac{1}{e^{2}})$

ステップ 10.3.2.1.8

$12$ と $\frac{1}{e^{2}}$ をまとめます。

$h' (- 2) = - \frac{8}{e^{2}} + \frac{12}{e^{2}}$

ステップ 10.3.2.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$h' (- 2) = \frac{- 8 + 12}{e^{2}}$

ステップ 10.3.2.2.2

$- 8$ と $12$ をたし算します。

$h' (- 2) = \frac{4}{e^{2}}$

ステップ 10.3.2.3

最終的な答えは $\frac{4}{e^{2}}$ です。

$\frac{4}{e^{2}}$

ステップ 10.4

一次導関数 $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$ の区間 $(0, \infty)$ から $2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$h' (2) = {(2)}^{3} e^{2} + 3 {(2)}^{2} e^{2}$

ステップ 10.4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1.1

$2$ を $3$ 乗します。

$h' (2) = 8 e^{2} + 3 {(2)}^{2} e^{2}$

ステップ 10.4.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$h' (2) = 8 e^{2} + 3 \cdot (4 e^{2})$

ステップ 10.4.2.1.3

$3$ に $4$ をかけます。

$h' (2) = 8 e^{2} + 12 e^{2}$

ステップ 10.4.2.2

$8 e^{2}$ と $12 e^{2}$ をたし算します。

$h' (2) = 20 e^{2}$

ステップ 10.4.2.3

最終的な答えは $20 e^{2}$ です。

$20 e^{2}$

ステップ 10.5

$x = - 3$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = - 3$ は極小値です。

$x = - 3$ は極小値です

ステップ 10.6

$x = 0$ の周囲で一次導関数の符号が変化しなかったので、これは極大値または極小値ではありません。

極大値または極小値ではありません

ステップ 10.7

$h (x) = x^{3} e^{x}$ の極値です。

$x = - 3$ は極小値です

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例