微分積分例

$f (x) = x^{2} + \frac{240}{x}$ ; $(0, \infty)$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1.1

総和則では、 $x^{2} + \frac{240}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{240}{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{240}{x}]$

ステップ 1.1.1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [\frac{240}{x}]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{240}{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$240$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{240}{x}$ の微分係数は $240 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$2 x + 240 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 1.1.1.2.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$2 x + 240 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 1.1.1.2.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + 240 (- x^{- 2})$

ステップ 1.1.1.2.4

$- 1$ に $240$ をかけます。

$2 x - 240 x^{- 2}$

ステップ 1.1.1.3

簡約します。

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ステップ 1.1.1.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$2 x - 240 \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2

項をまとめます。

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ステップ 1.1.1.3.2.1

$- 240$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$2 x + \frac{- 240}{x^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = 2 x - \frac{240}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $2 x - \frac{240}{x^{2}}$ です。

$2 x - \frac{240}{x^{2}}$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $2 x - \frac{240}{x^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$2 x - \frac{240}{x^{2}} = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 1.2.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, x^{2}, 1$

ステップ 1.2.2.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x^{2}$

ステップ 1.2.3

$2 x - \frac{240}{x^{2}} = 0$ の各項に $x^{2}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 1.2.3.1

$2 x - \frac{240}{x^{2}} = 0$ の各項に $x^{2}$ を掛けます。

$2 x \cdot x^{2} - \frac{240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 1.2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1.1

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.3.2.1.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$2 (x^{2} x) - \frac{240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 1.2.3.2.1.1.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 1.2.3.2.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 (x^{2} x^{1}) - \frac{240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 1.2.3.2.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 x^{2 + 1} - \frac{240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 1.2.3.2.1.1.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$2 x^{3} - \frac{240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1.2.1

$- \frac{240}{x^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$2 x^{3} + \frac{- 240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 1.2.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$2 x^{3} + \frac{- 240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 1.2.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$2 x^{3} - 240 = 0 x^{2}$

ステップ 1.2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.3.1

$0$ に $x^{2}$ をかけます。

$2 x^{3} - 240 = 0$

ステップ 1.2.4

方程式を解きます。

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ステップ 1.2.4.1

方程式の両辺に $240$ を足します。

$2 x^{3} = 240$

ステップ 1.2.4.2

方程式の両辺から $240$ を引きます。

$2 x^{3} - 240 = 0$

ステップ 1.2.4.3

$2$ を $2 x^{3} - 240$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.4.3.1

$2$ を $2 x^{3}$ で因数分解します。

$2 (x^{3}) - 240 = 0$

ステップ 1.2.4.3.2

$2$ を $- 240$ で因数分解します。

$2 x^{3} + 2 \cdot - 120 = 0$

ステップ 1.2.4.3.3

$2$ を $2 x^{3} + 2 \cdot - 120$ で因数分解します。

$2 (x^{3} - 120) = 0$

ステップ 1.2.4.4

$2 (x^{3} - 120) = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.4.4.1

$2 (x^{3} - 120) = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 (x^{3} - 120)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 1.2.4.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (x^{3} - 120)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 1.2.4.4.2.1.2

$x^{3} - 120$ を $1$ で割ります。

$x^{3} - 120 = \frac{0}{2}$

ステップ 1.2.4.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.4.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$x^{3} - 120 = 0$

ステップ 1.2.4.5

方程式の両辺に $120$ を足します。

$x^{3} = 120$

ステップ 1.2.4.6

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \sqrt[3]{120}$

ステップ 1.2.4.7

$\sqrt[3]{120}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.4.7.1

$120$ を $2^{3} \cdot 15$ に書き換えます。

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ステップ 1.2.4.7.1.1

$8$ を $120$ で因数分解します。

$x = \sqrt[3]{8 (15)}$

ステップ 1.2.4.7.1.2

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{2^{3} \cdot 15}$

ステップ 1.2.4.7.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x = 2 \sqrt[3]{15}$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$\frac{240}{x^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} = 0$

ステップ 1.3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 1.3.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 1.3.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 1.3.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 1.3.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 1.3.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{2} + \frac{240}{x}$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 2 \sqrt[3]{15}$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$2 \sqrt[3]{15}$ を $x$ に代入します。

${(2 \sqrt[3]{15})}^{2} + \frac{240}{2 \sqrt[3]{15}}$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1.1

積の法則を $2 \sqrt[3]{15}$ に当てはめます。

$2^{2} {\sqrt[3]{15}}^{2} + \frac{240}{2 \sqrt[3]{15}}$

ステップ 1.4.1.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$4 {\sqrt[3]{15}}^{2} + \frac{240}{2 \sqrt[3]{15}}$

ステップ 1.4.1.2.1.3

${\sqrt[3]{15}}^{2}$ を $\sqrt[3]{15^{2}}$ に書き換えます。

$4 \sqrt[3]{15^{2}} + \frac{240}{2 \sqrt[3]{15}}$

ステップ 1.4.1.2.1.4

$15$ を $2$ 乗します。

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{240}{2 \sqrt[3]{15}}$

ステップ 1.4.1.2.1.5

$240$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.5.1

$2$ を $240$ で因数分解します。

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{2 \cdot 120}{2 \sqrt[3]{15}}$

ステップ 1.4.1.2.1.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1.2.1.5.2.1

$2$ を $2 \sqrt[3]{15}$ で因数分解します。

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{2 \cdot 120}{2 (\sqrt[3]{15})}$

ステップ 1.4.1.2.1.5.2.2

共通因数を約分します。

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{2 \cdot 120}{2 \sqrt[3]{15}}$

ステップ 1.4.1.2.1.5.2.3

式を書き換えます。

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120}{\sqrt[3]{15}}$

ステップ 1.4.1.2.1.6

$\frac{120}{\sqrt[3]{15}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{2}}$ をかけます。

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120}{\sqrt[3]{15}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{2}}$

ステップ 1.4.1.2.1.7

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1.7.1

$\frac{120}{\sqrt[3]{15}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{2}}$ をかけます。

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{\sqrt[3]{15} {\sqrt[3]{15}}^{2}}$

ステップ 1.4.1.2.1.7.2

$\sqrt[3]{15}$ を $1$ 乗します。

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{1} {\sqrt[3]{15}}^{2}}$

ステップ 1.4.1.2.1.7.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{1 + 2}}$

ステップ 1.4.1.2.1.7.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{3}}$

ステップ 1.4.1.2.1.7.5

${\sqrt[3]{15}}^{3}$ を $15$ に書き換えます。

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ステップ 1.4.1.2.1.7.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{15}$ を $15^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{{(15^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

ステップ 1.4.1.2.1.7.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{15^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

ステップ 1.4.1.2.1.7.5.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{15^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 1.4.1.2.1.7.5.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1.2.1.7.5.4.1

共通因数を約分します。

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{15^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 1.4.1.2.1.7.5.4.2

式を書き換えます。

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{15^{1}}$

ステップ 1.4.1.2.1.7.5.5

指数を求めます。

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{15}$

ステップ 1.4.1.2.1.8

$120$ と $15$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1.2.1.8.1

$15$ を $120 {\sqrt[3]{15}}^{2}$ で因数分解します。

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{15 (8 {\sqrt[3]{15}}^{2})}{15}$

ステップ 1.4.1.2.1.8.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.8.2.1

$15$ を $15$ で因数分解します。

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{15 (8 {\sqrt[3]{15}}^{2})}{15 (1)}$

ステップ 1.4.1.2.1.8.2.2

共通因数を約分します。

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{15 (8 {\sqrt[3]{15}}^{2})}{15 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.2.1.8.2.3

式を書き換えます。

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{8 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{1}$

ステップ 1.4.1.2.1.8.2.4

$8 {\sqrt[3]{15}}^{2}$ を $1$ で割ります。

$4 \sqrt[3]{225} + 8 {\sqrt[3]{15}}^{2}$

ステップ 1.4.1.2.1.9

${\sqrt[3]{15}}^{2}$ を $\sqrt[3]{15^{2}}$ に書き換えます。

$4 \sqrt[3]{225} + 8 \sqrt[3]{15^{2}}$

ステップ 1.4.1.2.1.10

$15$ を $2$ 乗します。

$4 \sqrt[3]{225} + 8 \sqrt[3]{225}$

ステップ 1.4.1.2.2

$4 \sqrt[3]{225}$ と $8 \sqrt[3]{225}$ をたし算します。

$12 \sqrt[3]{225}$

ステップ 1.4.2

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.2.1

$0$ を $x$ に代入します。

${(0)}^{2} + \frac{240}{0}$

ステップ 1.4.2.2

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(2 \sqrt[3]{15}, 12 \sqrt[3]{225})$

ステップ 2

一次導関数検定を利用し、最大値または最小値になる点を判定します。

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ステップ 2.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 2 \sqrt[3]{15}) \cup (2 \sqrt[3]{15}, \infty)$

ステップ 2.2

一次導関数 $2 x - \frac{240}{x^{2}}$ の区間 $(- \infty, 2 \sqrt[3]{15})$ から $- 2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 2.2.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f' (- 2) = 2 (- 2) - \frac{240}{{(- 2)}^{2}}$

ステップ 2.2.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1.1

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f' (- 2) = - 4 - \frac{240}{{(- 2)}^{2}}$

ステップ 2.2.2.1.2

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f' (- 2) = - 4 - \frac{240}{4}$

ステップ 2.2.2.1.3

$240$ を $4$ で割ります。

$f' (- 2) = - 4 - 1 \cdot 60$

ステップ 2.2.2.1.4

$- 1$ に $60$ をかけます。

$f' (- 2) = - 4 - 60$

ステップ 2.2.2.2

$- 4$ から $60$ を引きます。

$f' (- 2) = - 64$

ステップ 2.2.2.3

最終的な答えは $- 64$ です。

$- 64$

ステップ 2.3

一次導関数 $2 x - \frac{240}{x^{2}}$ の区間 $(2 \sqrt[3]{15}, \infty)$ から $7$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 2.3.1

式の変数 $x$ を $7$ で置換えます。

$f' (7) = 2 (7) - \frac{240}{{(7)}^{2}}$

ステップ 2.3.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

$2$ に $7$ をかけます。

$f' (7) = 14 - \frac{240}{{(7)}^{2}}$

ステップ 2.3.2.1.2

$7$ を $2$ 乗します。

$f' (7) = 14 - \frac{240}{49}$

ステップ 2.3.2.2

$14$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{49}{49}$ を掛けます。

$f' (7) = 14 \cdot \frac{49}{49} - \frac{240}{49}$

ステップ 2.3.2.3

$14$ と $\frac{49}{49}$ をまとめます。

$f' (7) = \frac{14 \cdot 49}{49} - \frac{240}{49}$

ステップ 2.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f' (7) = \frac{14 \cdot 49 - 240}{49}$

ステップ 2.3.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.2.5.1

$14$ に $49$ をかけます。

$f' (7) = \frac{686 - 240}{49}$

ステップ 2.3.2.5.2

$686$ から $240$ を引きます。

$f' (7) = \frac{446}{49}$

ステップ 2.3.2.6

最終的な答えは $\frac{446}{49}$ です。

$\frac{446}{49}$

ステップ 2.4

$x = 2 \sqrt[3]{15}$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = 2 \sqrt[3]{15}$ は極小値です。

$x = 2 \sqrt[3]{15}$ は極小値です

ステップ 3

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

絶対最大値はありません

最小値： $(2 \sqrt[3]{15}, 12 \sqrt[3]{225})$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例