微分積分例

$f (x) = | x | + 2 | 1 - x |$ , $[- 2, 2]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $| x | + 2 | 1 - x |$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [| x |] + \frac{d}{d x} [2 | 1 - x |]$ です。

$\frac{d}{d x} [| x |] + \frac{d}{d x} [2 | 1 - x |]$

ステップ 1.1.1.2

$x$ に関する $| x |$ の微分係数は $\frac{x}{| x |}$ です。

$\frac{x}{| x |} + \frac{d}{d x} [2 | 1 - x |]$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 | 1 - x |]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 | 1 - x |$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [| 1 - x |]$ です。

$\frac{x}{| x |} + 2 \frac{d}{d x} [| 1 - x |]$

ステップ 1.1.1.3.2

$f (x) = | x |$ および $g (x) = 1 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 - x$ とします。

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [1 - x])$

ステップ 1.1.1.3.2.2

$u$ に関する $| u |$ の微分係数は $\frac{u}{| u |}$ です。

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [1 - x])$

ステップ 1.1.1.3.2.3

$u$ のすべての発生を $1 - x$ で置き換えます。

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} \frac{d}{d x} [1 - x])$

ステップ 1.1.1.3.3

総和則では、 $1 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]))$

ステップ 1.1.1.3.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} (0 + \frac{d}{d x} [- x]))$

ステップ 1.1.1.3.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} (0 - \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 1.1.1.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} (0 - 1 \cdot 1))$

ステップ 1.1.1.3.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} (0 - 1))$

ステップ 1.1.1.3.8

$0$ から $1$ を引きます。

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} \cdot - 1)$

ステップ 1.1.1.3.9

$\frac{1 - x}{| 1 - x |}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{x}{| x |} + 2 \frac{(1 - x) \cdot - 1}{| 1 - x |}$

ステップ 1.1.1.3.10

$- 1$ を $1 - x$ の左に移動させます。

$\frac{x}{| x |} + 2 \frac{- 1 \cdot (1 - x)}{| 1 - x |}$

ステップ 1.1.1.3.11

$- 1 (1 - x)$ を $- (1 - x)$ に書き換えます。

$\frac{x}{| x |} + 2 \frac{- (1 - x)}{| 1 - x |}$

ステップ 1.1.1.3.12

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{x}{| x |} + 2 (- \frac{1 - x}{| 1 - x |})$

ステップ 1.1.1.3.13

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{x}{| x |} - 2 \frac{1 - x}{| 1 - x |}$

ステップ 1.1.1.3.14

$- 2$ と $\frac{1 - x}{| 1 - x |}$ をまとめます。

$\frac{x}{| x |} + \frac{- 2 (1 - x)}{| 1 - x |}$

ステップ 1.1.1.3.15

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = \frac{x}{| x |} - \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |}$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{x}{| x |} - \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |}$ です。

$\frac{x}{| x |} - \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |}$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{x}{| x |} - \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{x}{| x |} - \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |} = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺から $\frac{x}{| x |}$ を引きます。

$- \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |} = - \frac{x}{| x |}$

ステップ 1.2.3

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$| 1 - x |, | x |$

ステップ 1.2.3.2

$| 1 - x |, | x |$ には数と変数があるので、最小公倍数を求めるには2段階あります。数値部 $1, 1$ の最小公倍数を求め、次に変数部 ${| 1 - x |}^{1}, {| x |}^{1}$ の最小公倍数を求めます。

ステップ 1.2.3.3

最小公倍数はすべての数を割り切る最小の正の数です。

1. 各数値の素因数を記入してください。

2. 各因数に、いずれかの値で発生する最大回数をかけてください。

ステップ 1.2.3.4

数 $1$ は、それ自身である正の因数を1つだけもつので、素数ではありません。

素数ではありません

ステップ 1.2.3.5

$1, 1$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの数に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$1$

ステップ 1.2.3.6

${| 1 - x |}^{1}$ の因数は $| 1 - x |$ そのものです。

${| 1 - x |}^{1} = | 1 - x |$

$| 1 - x |$ は $1$ 回発生します。

ステップ 1.2.3.7

${| x |}^{1}$ の因数は $| x |$ そのものです。

${| x |}^{1} = | x |$

$| x |$ は $1$ 回発生します。

ステップ 1.2.3.8

${| 1 - x |}^{1}, {| x |}^{1}$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの項に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$| 1 - x | | x |$

ステップ 1.2.4

$- \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |} = - \frac{x}{| x |}$ の各項に $| 1 - x | | x |$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$- \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |} = - \frac{x}{| x |}$ の各項に $| 1 - x | | x |$ を掛けます。

$- \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |} (| 1 - x | | x |) = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

ステップ 1.2.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1

$| 1 - x |$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1.1

$- \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 2 (1 - x)}{| 1 - x |} (| 1 - x | | x |) = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

ステップ 1.2.4.2.1.2

$| 1 - x |$ を $| 1 - x | | x |$ で因数分解します。

$\frac{- 2 (1 - x)}{| 1 - x |} (| 1 - x | | x |) = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

ステップ 1.2.4.2.1.3

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 (1 - x)}{| 1 - x |} (| 1 - x | | x |) = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

ステップ 1.2.4.2.1.4

式を書き換えます。

$- 2 (1 - x) | x | = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

ステップ 1.2.4.2.2

分配則を当てはめます。

$(- 2 \cdot 1 - 2 (- x)) | x | = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

ステップ 1.2.4.2.3

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.3.1

$- 2$ に $1$ をかけます。

$(- 2 - 2 (- x)) | x | = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

ステップ 1.2.4.2.3.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$(- 2 + 2 x) | x | = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

ステップ 1.2.4.2.4

分配則を当てはめます。

$- 2 | x | + 2 x | x | = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

ステップ 1.2.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.3.1

$| x |$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.3.1.1

$- \frac{x}{| x |}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- 2 | x | + 2 x | x | = \frac{- x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

ステップ 1.2.4.3.1.2

$| x |$ を $| 1 - x | | x |$ で因数分解します。

$- 2 | x | + 2 x | x | = \frac{- x}{| x |} (| x | | 1 - x |)$

ステップ 1.2.4.3.1.3

共通因数を約分します。

$- 2 | x | + 2 x | x | = \frac{- x}{| x |} (| x | | 1 - x |)$

ステップ 1.2.4.3.1.4

式を書き換えます。

$- 2 | x | + 2 x | x | = - x | 1 - x |$

ステップ 1.2.5

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

方程式を $- x | 1 - x | = - 2 | x | + 2 x | x |$ として書き換えます。

$- x | 1 - x | = - 2 | x | + 2 x | x |$

ステップ 1.2.5.2

$- x | 1 - x | = - 2 | x | + 2 x | x |$ の各項を $- x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.1

$- x | 1 - x | = - 2 | x | + 2 x | x |$ の各項を $- x$ で割ります。

$\frac{- x | 1 - x |}{- x} = \frac{- 2 | x |}{- x} + \frac{2 x | x |}{- x}$

ステップ 1.2.5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x | 1 - x |}{x} = \frac{- 2 | x |}{- x} + \frac{2 x | x |}{- x}$

ステップ 1.2.5.2.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x | 1 - x |}{x} = \frac{- 2 | x |}{- x} + \frac{2 x | x |}{- x}$

ステップ 1.2.5.2.2.2.2

$| 1 - x |$ を $1$ で割ります。

$| 1 - x | = \frac{- 2 | x |}{- x} + \frac{2 x | x |}{- x}$

ステップ 1.2.5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.3.1.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$| 1 - x | = \frac{2 | x |}{x} + \frac{2 x | x |}{- x}$

ステップ 1.2.5.2.3.1.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$| 1 - x | = \frac{2 | x |}{x} + \frac{2 x | x |}{- x}$

ステップ 1.2.5.2.3.1.2.2

式を書き換えます。

$| 1 - x | = \frac{2 | x |}{x} + \frac{2 | x |}{- 1}$

ステップ 1.2.5.2.3.1.2.3

$\frac{2 | x |}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$| 1 - x | = \frac{2 | x |}{x} - 1 \cdot (2 | x |)$

ステップ 1.2.5.2.3.1.3

$- 1 \cdot (2 | x |)$ を $- (2 | x |)$ に書き換えます。

$| 1 - x | = \frac{2 | x |}{x} - (2 | x |)$

ステップ 1.2.5.2.3.1.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$| 1 - x | = \frac{2 | x |}{x} - 2 | x |$

ステップ 1.2.6

$| x |$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

方程式を $\frac{2 | x |}{x} - 2 | x | = | 1 - x |$ として書き換えます。

$\frac{2 | x |}{x} - 2 | x | = | 1 - x |$

ステップ 1.2.6.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x, 1, 1$

ステップ 1.2.6.2.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x$

ステップ 1.2.6.3

$\frac{2 | x |}{x} - 2 | x | = | 1 - x |$ の各項に $x$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.3.1

$\frac{2 | x |}{x} - 2 | x | = | 1 - x |$ の各項に $x$ を掛けます。

$\frac{2 | x |}{x} x - 2 | x | x = | 1 - x | x$

ステップ 1.2.6.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.3.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 | x |}{x} x - 2 | x | x = | 1 - x | x$

ステップ 1.2.6.3.2.1.2

式を書き換えます。

$2 | x | - 2 | x | x = | 1 - x | x$

ステップ 1.2.6.4

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.4.1

$2 | x |$ を $2 | x | - 2 | x | x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.4.1.1

$2 | x |$ を $2 | x |$ で因数分解します。

$2 | x | \cdot 1 - 2 | x | x = | 1 - x | x$

ステップ 1.2.6.4.1.2

$2 | x |$ を $- 2 | x | x$ で因数分解します。

$2 | x | \cdot 1 + 2 | x | (- 1 x) = | 1 - x | x$

ステップ 1.2.6.4.1.3

$2 | x |$ を $2 | x | \cdot 1 + 2 | x | (- 1 x)$ で因数分解します。

$2 | x | (1 - 1 x) = | 1 - x | x$

ステップ 1.2.6.4.2

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$2 | x | (1 - x) = | 1 - x | x$

ステップ 1.2.6.4.3

$2 | x | (1 - x) = | 1 - x | x$ の各項を $2 (1 - x)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.4.3.1

$2 | x | (1 - x) = | 1 - x | x$ の各項を $2 (1 - x)$ で割ります。

$\frac{2 | x | (1 - x)}{2 (1 - x)} = \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)}$

ステップ 1.2.6.4.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.4.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.4.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 | x | (1 - x)}{2 (1 - x)} = \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)}$

ステップ 1.2.6.4.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{| x | (1 - x)}{1 - x} = \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)}$

ステップ 1.2.6.4.3.2.2

$1 - x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.4.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{| x | (1 - x)}{1 - x} = \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)}$

ステップ 1.2.6.4.3.2.2.2

$| x |$ を $1$ で割ります。

$| x | = \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)}$

ステップ 1.2.7

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$x = \pm (\frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)})$

ステップ 1.2.8

結果は $\pm$ の正と負の両部分からなります。

$x = \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)}$

$x = - (\frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)})$

ステップ 1.2.9

$x$ について $x = \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.1

$| 1 - x |$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.1.1

方程式を $\frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)} = x$ として書き換えます。

$\frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)} = x$

ステップ 1.2.9.1.2

両辺に $2 (1 - x)$ を掛けます。

$\frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)} (2 (1 - x)) = x (2 (1 - x))$

ステップ 1.2.9.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.1.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.1.3.1.1

$\frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)} (2 (1 - x))$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.1.3.1.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)} (1 - x) = x (2 (1 - x))$

ステップ 1.2.9.1.3.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.1.3.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)} (1 - x) = x (2 (1 - x))$

ステップ 1.2.9.1.3.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{| 1 - x | x}{1 - x} (1 - x) = x (2 (1 - x))$

ステップ 1.2.9.1.3.1.1.3

$1 - x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.1.3.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{| 1 - x | x}{1 - x} (1 - x) = x (2 (1 - x))$

ステップ 1.2.9.1.3.1.1.3.2

式を書き換えます。

$| 1 - x | x = x (2 (1 - x))$

ステップ 1.2.9.1.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.1.3.2.1

$x (2 (1 - x))$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.1.3.2.1.1

両辺を掛けて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.1.3.2.1.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$| 1 - x | x = 2 x (1 - x)$

ステップ 1.2.9.1.3.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$| 1 - x | x = 2 x \cdot 1 + 2 x (- x)$

ステップ 1.2.9.1.3.2.1.1.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.1.3.2.1.1.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$| 1 - x | x = 2 x + 2 x (- x)$

ステップ 1.2.9.1.3.2.1.1.3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$| 1 - x | x = 2 x + 2 \cdot - 1 x \cdot x$

ステップ 1.2.9.1.3.2.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.1.3.2.1.2.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.1.3.2.1.2.1.1

$x$ を移動させます。

$| 1 - x | x = 2 x + 2 \cdot - 1 (x \cdot x)$

ステップ 1.2.9.1.3.2.1.2.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$| 1 - x | x = 2 x + 2 \cdot - 1 x^{2}$

ステップ 1.2.9.1.3.2.1.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$| 1 - x | x = 2 x - 2 x^{2}$

ステップ 1.2.9.1.3.2.1.3

$2 x$ と $- 2 x^{2}$ を並べ替えます。

$| 1 - x | x = - 2 x^{2} + 2 x$

ステップ 1.2.9.1.4

$| 1 - x | x = - 2 x^{2} + 2 x$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.1.4.1

$| 1 - x | x = - 2 x^{2} + 2 x$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{| 1 - x | x}{x} = \frac{- 2 x^{2}}{x} + \frac{2 x}{x}$

ステップ 1.2.9.1.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.1.4.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.1.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{| 1 - x | x}{x} = \frac{- 2 x^{2}}{x} + \frac{2 x}{x}$

ステップ 1.2.9.1.4.2.1.2

$| 1 - x |$ を $1$ で割ります。

$| 1 - x | = \frac{- 2 x^{2}}{x} + \frac{2 x}{x}$

ステップ 1.2.9.1.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.1.4.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.1.4.3.1.1

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.1.4.3.1.1.1

$x$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$| 1 - x | = \frac{x (- 2 x)}{x} + \frac{2 x}{x}$

ステップ 1.2.9.1.4.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.1.4.3.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$| 1 - x | = \frac{x (- 2 x)}{x^{1}} + \frac{2 x}{x}$

ステップ 1.2.9.1.4.3.1.1.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$| 1 - x | = \frac{x (- 2 x)}{x \cdot 1} + \frac{2 x}{x}$

ステップ 1.2.9.1.4.3.1.1.2.3

共通因数を約分します。

$| 1 - x | = \frac{x (- 2 x)}{x \cdot 1} + \frac{2 x}{x}$

ステップ 1.2.9.1.4.3.1.1.2.4

式を書き換えます。

$| 1 - x | = \frac{- 2 x}{1} + \frac{2 x}{x}$

ステップ 1.2.9.1.4.3.1.1.2.5

$- 2 x$ を $1$ で割ります。

$| 1 - x | = - 2 x + \frac{2 x}{x}$

ステップ 1.2.9.1.4.3.1.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.1.4.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$| 1 - x | = - 2 x + \frac{2 x}{x}$

ステップ 1.2.9.1.4.3.1.2.2

$2$ を $1$ で割ります。

$| 1 - x | = - 2 x + 2$

ステップ 1.2.9.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$1 - x = \pm (- 2 x + 2)$

ステップ 1.2.9.3

結果は $\pm$ の正と負の両部分からなります。

$1 - x = - 2 x + 2$

$1 - x = - (- 2 x + 2)$

ステップ 1.2.9.4

$x$ について $1 - x = - 2 x + 2$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.4.1

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.4.1.1

方程式の両辺に $2 x$ を足します。

$1 - x + 2 x = 2$

ステップ 1.2.9.4.1.2

$- x$ と $2 x$ をたし算します。

$1 + x = 2$

ステップ 1.2.9.4.2

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.4.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = 2 - 1$

ステップ 1.2.9.4.2.2

$2$ から $1$ を引きます。

$x = 1$

ステップ 1.2.9.5

解をまとめます。

$x = 1$

ステップ 1.2.10

$\frac{x}{| x |} - \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.10.1

$\frac{x}{| x |}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$| x | = 0$

ステップ 1.2.10.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.10.2.1

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$x = \pm 0$

ステップ 1.2.10.2.2

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 1.2.10.3

$\frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$| 1 - x | = 0$

ステップ 1.2.10.4

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.10.4.1

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$1 - x = \pm 0$

ステップ 1.2.10.4.2

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$1 - x = 0$

ステップ 1.2.10.4.3

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- x = - 1$

ステップ 1.2.10.4.4

$- x = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.10.4.4.1

$- x = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 1.2.10.4.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.10.4.4.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 1.2.10.4.4.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 1.2.10.4.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.10.4.4.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$x = 1$

ステップ 1.2.10.5

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 1.2.11

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

ステップ 1.2.12

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.12.1

区間 $x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.12.1.1

区間 $x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 1.2.12.1.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$\frac{- 2}{| - 2 |} - \frac{2 (1 - (- 2))}{| 1 - (- 2) |} = 0$

ステップ 1.2.12.1.3

左辺 $- 3$ は右辺 $0$ に等しくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 1.2.12.2

区間 $0 < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.12.2.1

区間 $0 < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0.5$

ステップ 1.2.12.2.2

$x$ を元の不等式の $0.5$ で置き換えます。

$\frac{0.5}{| 0.5 |} - \frac{2 (1 - (0.5))}{| 1 - (0.5) |} = 0$

ステップ 1.2.12.2.3

左辺 $- 1$ は右辺 $0$ に等しくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 1.2.12.3

区間 $x > 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.12.3.1

区間 $x > 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 1.2.12.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\frac{4}{| 4 |} - \frac{2 (1 - (4))}{| 1 - (4) |} = 0$

ステップ 1.2.12.3.3

左辺 $3$ は右辺 $0$ に等しくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 1.2.12.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 0$ 偽

$0 < x < 1$ 偽

$x > 1$ 偽

$x < 0$ 偽

$0 < x < 1$ 偽

$x > 1$ 偽

ステップ 1.2.13

この区間になる数がないので、この不等式に解はありません。

解がありません

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$\frac{x}{| x |}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$| x | = 0$

ステップ 1.3.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$x = \pm 0$

ステップ 1.3.2.2

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 1.3.3

$\frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$| 1 - x | = 0$

ステップ 1.3.4

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$1 - x = \pm 0$

ステップ 1.3.4.2

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$1 - x = 0$

ステップ 1.3.4.3

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- x = - 1$

ステップ 1.3.4.4

$- x = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.4.1

$- x = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 1.3.4.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.4.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 1.3.4.4.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 1.3.4.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.4.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$x = 1$

ステップ 1.3.5

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x = 0, x = 1$

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $| x | + 2 | 1 - x |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$x = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$| 0 | + 2 | 1 - (0) |$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $0$ の間の距離は $0$ です。

$0 + 2 | 1 - (0) |$

ステップ 1.4.1.2.1.2

$1$ から $0$ を引きます。

$0 + 2 | 1 |$

ステップ 1.4.1.2.1.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$0 + 2 \cdot 1$

ステップ 1.4.1.2.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$0 + 2$

ステップ 1.4.1.2.2

$0$ と $2$ をたし算します。

$2$

ステップ 1.4.2

$x = 1$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$1$ を $x$ に代入します。

$| 1 | + 2 | 1 - (1) |$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$1 + 2 | 1 - (1) |$

ステップ 1.4.2.2.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$1 + 2 | 1 - 1 |$

ステップ 1.4.2.2.1.3

$1$ から $1$ を引きます。

$1 + 2 | 0 |$

ステップ 1.4.2.2.1.4

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $0$ の間の距離は $0$ です。

$1 + 2 \cdot 0$

ステップ 1.4.2.2.1.5

$2$ に $0$ をかけます。

$1 + 0$

ステップ 1.4.2.2.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, 2), (1, 1)$

ステップ 2

含まれる端点における値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x = - 2$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$- 2$ を $x$ に代入します。

$| - 2 | + 2 | 1 - (- 2) |$

ステップ 2.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $- 2$ と $0$ の間の距離は $2$ です。

$2 + 2 | 1 - (- 2) |$

ステップ 2.1.2.1.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$2 + 2 | 1 + 2 |$

ステップ 2.1.2.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$2 + 2 | 3 |$

ステップ 2.1.2.1.4

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $3$ の間の距離は $3$ です。

$2 + 2 \cdot 3$

ステップ 2.1.2.1.5

$2$ に $3$ をかけます。

$2 + 6$

ステップ 2.1.2.2

$2$ と $6$ をたし算します。

$8$

ステップ 2.2

$x = 2$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$2$ を $x$ に代入します。

$| 2 | + 2 | 1 - (2) |$

ステップ 2.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$2 + 2 | 1 - (2) |$

ステップ 2.2.2.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 + 2 | 1 - 2 |$

ステップ 2.2.2.1.3

$1$ から $2$ を引きます。

$2 + 2 | - 1 |$

ステップ 2.2.2.1.4

絶対値は数と0の間の距離です。 $- 1$ と $0$ の間の距離は $1$ です。

$2 + 2 \cdot 1$

ステップ 2.2.2.1.5

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + 2$

ステップ 2.2.2.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$4$

ステップ 2.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 2, 8), (2, 4)$

ステップ 3

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(- 2, 8)$

最小値： $(1, 1)$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例