微分積分例

$g (x) = 5 x^{3} e^{- x}$ , $- 1 \leq x \leq 4$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{3} e^{- x}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x}]$

ステップ 1.1.1.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = e^{- x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$5 (x^{3} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 1.1.1.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x$ とします。

$5 (x^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 1.1.1.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$5 (x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 1.1.1.3.3

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$5 (x^{3} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 1.1.1.4

微分します。

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ステップ 1.1.1.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5 (x^{3} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 1.1.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (x^{3} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 1.1.1.4.3

式を簡約します。

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ステップ 1.1.1.4.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$5 (x^{3} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 1.1.1.4.3.2

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$5 (x^{3} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 1.1.1.4.3.3

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$5 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 1.1.1.4.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2}))$

ステップ 1.1.1.5

簡約します。

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ステップ 1.1.1.5.1

分配則を当てはめます。

$5 (x^{3} (- e^{- x})) + 5 (e^{- x} (3 x^{2}))$

ステップ 1.1.1.5.2

項をまとめます。

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ステップ 1.1.1.5.2.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$- 5 (x^{3} (e^{- x})) + 5 (e^{- x} (3 x^{2}))$

ステップ 1.1.1.5.2.2

$3$ に $5$ をかけます。

$- 5 x^{3} e^{- x} + 15 e^{- x} x^{2}$

ステップ 1.1.1.5.3

項を並べ替えます。

$- 5 e^{- x} x^{3} + 15 e^{- x} x^{2}$

ステップ 1.1.1.5.4

$- 5 e^{- x} x^{3} + 15 e^{- x} x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = - 5 x^{3} e^{- x} + 15 x^{2} e^{- x}$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $g (x)$ の一次導関数は $- 5 x^{3} e^{- x} + 15 x^{2} e^{- x}$ です。

$- 5 x^{3} e^{- x} + 15 x^{2} e^{- x}$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 5 x^{3} e^{- x} + 15 x^{2} e^{- x} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 5 x^{3} e^{- x} + 15 x^{2} e^{- x} = 0$

ステップ 1.2.2

$5 x^{2} e^{- x}$ を $- 5 x^{3} e^{- x} + 15 x^{2} e^{- x}$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

$5 x^{2} e^{- x}$ を $- 5 x^{3} e^{- x}$ で因数分解します。

$5 x^{2} e^{- x} (- x) + 15 x^{2} e^{- x} = 0$

ステップ 1.2.2.2

$5 x^{2} e^{- x}$ を $15 x^{2} e^{- x}$ で因数分解します。

$5 x^{2} e^{- x} (- x) + 5 x^{2} e^{- x} (3) = 0$

ステップ 1.2.2.3

$5 x^{2} e^{- x}$ を $5 x^{2} e^{- x} (- x) + 5 x^{2} e^{- x} (3)$ で因数分解します。

$5 x^{2} e^{- x} (- x + 3) = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$e^{- x} = 0$

$- x + 3 = 0$

ステップ 1.2.4

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.4.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 1.2.4.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 1.2.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 1.2.4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 1.2.4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 1.2.5

$e^{- x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.1

$e^{- x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{- x} = 0$

ステップ 1.2.5.2

$x$ について $e^{- x} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

ステップ 1.2.5.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 1.2.5.2.3

$e^{- x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 1.2.6

$- x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.6.1

$- x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$- x + 3 = 0$

ステップ 1.2.6.2

$x$ について $- x + 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.6.2.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$- x = - 3$

ステップ 1.2.6.2.2

$- x = - 3$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.6.2.2.1

$- x = - 3$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 1.2.6.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.6.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 1.2.6.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 1.2.6.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.6.2.2.3.1

$- 3$ を $- 1$ で割ります。

$x = 3$

ステップ 1.2.7

最終解は $5 x^{2} e^{- x} (- x + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 3$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $5 x^{3} e^{- x}$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$5 {(0)}^{3} e^{- (0)}$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$5 \cdot 0 e^{- (0)}$

ステップ 1.4.1.2.2

$5$ に $0$ をかけます。

$0 e^{- (0)}$

ステップ 1.4.1.2.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$0 e^{0}$

ステップ 1.4.1.2.4

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$0 \cdot 1$

ステップ 1.4.1.2.5

$0$ に $1$ をかけます。

$0$

ステップ 1.4.2

$x = 3$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.2.1

$3$ を $x$ に代入します。

$5 {(3)}^{3} e^{- (3)}$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

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ステップ 1.4.2.2.1

$3$ を $3$ 乗します。

$5 \cdot 27 e^{- (3)}$

ステップ 1.4.2.2.2

$5$ に $27$ をかけます。

$135 e^{- (3)}$

ステップ 1.4.2.2.3

$- 1$ に $3$ をかけます。

$135 e^{- 3}$

ステップ 1.4.2.2.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$135 \frac{1}{e^{3}}$

ステップ 1.4.2.2.5

$135$ と $\frac{1}{e^{3}}$ をまとめます。

$\frac{135}{e^{3}}$

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, 0), (3, \frac{135}{e^{3}})$

ステップ 2

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 2.1

$x = - 1$ での値を求めます。

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ステップ 2.1.1

$- 1$ を $x$ に代入します。

$5 {(- 1)}^{3} e^{- (- 1)}$

ステップ 2.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$- 1$ を $3$ 乗します。

$5 \cdot - 1 e^{- (- 1)}$

ステップ 2.1.2.2

$5$ に $- 1$ をかけます。

$- 5 e^{- (- 1)}$

ステップ 2.1.2.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- 5 e^{1}$

ステップ 2.1.2.4

簡約します。

$- 5 e$

ステップ 2.2

$x = 4$ での値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$4$ を $x$ に代入します。

$5 {(4)}^{3} e^{- (4)}$

ステップ 2.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$4$ を $3$ 乗します。

$5 \cdot 64 e^{- (4)}$

ステップ 2.2.2.2

$5$ に $64$ をかけます。

$320 e^{- (4)}$

ステップ 2.2.2.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$320 e^{- 4}$

ステップ 2.2.2.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$320 \frac{1}{e^{4}}$

ステップ 2.2.2.5

$320$ と $\frac{1}{e^{4}}$ をまとめます。

$\frac{320}{e^{4}}$

ステップ 2.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 1, - 5 e), (4, \frac{320}{e^{4}})$

ステップ 3

$x$ の各値に対して求めた $g (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $g (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $g (x)$ の値で発生します。

最大値： $(3, \frac{135}{e^{3}})$

最小値： $(- 1, - 5 e)$

ステップ 4

微分積分 例

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