微分積分例

$f (x) = \ln (x) - x$ , $x > 0$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $\ln (x) - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.1.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{x} - \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x} - 1 \cdot 1$

ステップ 1.1.1.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{1}{x} - 1$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{1}{x} - 1$ です。

$\frac{1}{x} - 1$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{1}{x} - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{1}{x} - 1 = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$\frac{1}{x} = 1$

ステップ 1.2.3

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x, 1$

ステップ 1.2.3.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x$

ステップ 1.2.4

$\frac{1}{x} = 1$ の各項に $x$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 1.2.4.1

$\frac{1}{x} = 1$ の各項に $x$ を掛けます。

$\frac{1}{x} x = 1 x$

ステップ 1.2.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x} x = 1 x$

ステップ 1.2.4.2.1.2

式を書き換えます。

$1 = 1 x$

ステップ 1.2.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.3.1

$x$ に $1$ をかけます。

$1 = x$

ステップ 1.2.5

方程式を $x = 1$ として書き換えます。

$x = 1$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$\frac{1}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\ln (x) - x$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 1$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$1$ を $x$ に代入します。

$\ln (1) - (1)$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1.1

$1$ の自然対数は $0$ です。

$0 - (1)$

ステップ 1.4.1.2.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 - 1$

ステップ 1.4.1.2.2

$0$ から $1$ を引きます。

$- 1$

ステップ 1.4.2

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.2.1

$0$ を $x$ に代入します。

$\ln (0) - (0)$

ステップ 1.4.2.2

0の自然対数は未定義です。

未定義

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(1, - 1)$

ステップ 2

一次導関数検定を利用し、最大値または最小値になる点を判定します。

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ステップ 2.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 2.2

一次導関数 $\frac{1}{x} - 1$ の区間 $(- \infty, 1)$ から $- 2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 2.2.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f' (- 2) = \frac{1}{- 2} - 1$

ステップ 2.2.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

分数の前に負数を移動させます。

$f' (- 2) = - \frac{1}{2} - 1$

ステップ 2.2.2.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f' (- 2) = - \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 2.2.2.3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f' (- 2) = - \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

ステップ 2.2.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f' (- 2) = \frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}$

ステップ 2.2.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.2.2.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f' (- 2) = \frac{- 1 - 2}{2}$

ステップ 2.2.2.5.2

$- 1$ から $2$ を引きます。

$f' (- 2) = \frac{- 3}{2}$

ステップ 2.2.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$f' (- 2) = - \frac{3}{2}$

ステップ 2.2.2.7

最終的な答えは $- \frac{3}{2}$ です。

$- \frac{3}{2}$

ステップ 2.3

一次導関数 $\frac{1}{x} - 1$ の区間 $(1, \infty)$ から $4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 2.3.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f' (4) = \frac{1}{4} - 1$

ステップ 2.3.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$f' (4) = \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 2.3.2.2

$- 1$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$f' (4) = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}$

ステップ 2.3.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f' (4) = \frac{1 - 1 \cdot 4}{4}$

ステップ 2.3.2.4

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.2.4.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$f' (4) = \frac{1 - 4}{4}$

ステップ 2.3.2.4.2

$1$ から $4$ を引きます。

$f' (4) = \frac{- 3}{4}$

ステップ 2.3.2.5

分数の前に負数を移動させます。

$f' (4) = - \frac{3}{4}$

ステップ 2.3.2.6

最終的な答えは $- \frac{3}{4}$ です。

$- \frac{3}{4}$

ステップ 2.4

$x = 1$ の周囲で一次導関数の符号が変化しなかったので、これは極大値または極小値ではありません。

極大値または極小値ではありません

ステップ 2.5

$f (x) = \ln (x) - x$ における極大値または極小値は求められません。

極大値または極小値はありません

ステップ 3

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

絶対最大値はありません

絶対最小値はありません

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例