微分積分例

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 4$ , $[- 2, 1]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $\frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x^{3}}{3}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.1.1.2.3

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.1.1.2.4

$\frac{3}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.1.1.2.5

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.1.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.1.1.2.5.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{2}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.1.1.3.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.4.1

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$x^{2} - 4 x + 0$

ステップ 1.1.1.4.2

$x^{2} - 4 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = x^{2} - 4 x$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $x^{2} - 4 x$ です。

$x^{2} - 4 x$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $x^{2} - 4 x = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$x^{2} - 4 x = 0$

ステップ 1.2.2

$x$ を $x^{2} - 4 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$x \cdot x - 4 x = 0$

ステップ 1.2.2.2

$x$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$x \cdot x + x \cdot - 4 = 0$

ステップ 1.2.2.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot - 4$ で因数分解します。

$x (x - 4) = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 4 = 0$

ステップ 1.2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 1.2.5

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 1.2.5.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 1.2.6

最終解は $x (x - 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 4$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 4$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$\frac{{(0)}^{3}}{3} - 2 {(0)}^{2} + 4$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{3} - 2 {(0)}^{2} + 4$

ステップ 1.4.1.2.1.2

$0$ を $3$ で割ります。

$0 - 2 {(0)}^{2} + 4$

ステップ 1.4.1.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 2 \cdot 0 + 4$

ステップ 1.4.1.2.1.4

$- 2$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 4$

ステップ 1.4.1.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 4$

ステップ 1.4.1.2.2.2

$0$ と $4$ をたし算します。

$4$

ステップ 1.4.2

$x = 4$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$4$ を $x$ に代入します。

$\frac{{(4)}^{3}}{3} - 2 {(4)}^{2} + 4$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.1

$- 2 {(4)}^{2}$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{{(4)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(4)}^{2}}{1} + 4$

ステップ 1.4.2.2.1.2

$\frac{- 2 {(4)}^{2}}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{{(4)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(4)}^{2}}{1} \cdot \frac{3}{3} + 4$

ステップ 1.4.2.2.1.3

$\frac{- 2 {(4)}^{2}}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{{(4)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(4)}^{2} \cdot 3}{3} + 4$

ステップ 1.4.2.2.1.4

$4$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{{(4)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(4)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{4}{1}$

ステップ 1.4.2.2.1.5

$\frac{4}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{{(4)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(4)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{4}{1} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 1.4.2.2.1.6

$\frac{4}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{{(4)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(4)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}$

ステップ 1.4.2.2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{{(4)}^{3} - 2 {(4)}^{2} \cdot 3 + 4 \cdot 3}{3}$

ステップ 1.4.2.2.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.3.1

$4$ を $3$ 乗します。

$\frac{64 - 2 {(4)}^{2} \cdot 3 + 4 \cdot 3}{3}$

ステップ 1.4.2.2.3.2

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{64 - 2 \cdot 16 \cdot 3 + 4 \cdot 3}{3}$

ステップ 1.4.2.2.3.3

$- 2 \cdot 16 \cdot 3$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.3.3.1

$- 2$ に $16$ をかけます。

$\frac{64 - 32 \cdot 3 + 4 \cdot 3}{3}$

ステップ 1.4.2.2.3.3.2

$- 32$ に $3$ をかけます。

$\frac{64 - 96 + 4 \cdot 3}{3}$

ステップ 1.4.2.2.3.4

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{64 - 96 + 12}{3}$

ステップ 1.4.2.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.4.1

$64$ から $96$ を引きます。

$\frac{- 32 + 12}{3}$

ステップ 1.4.2.2.4.2

$- 32$ と $12$ をたし算します。

$\frac{- 20}{3}$

ステップ 1.4.2.2.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{20}{3}$

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, 4), (4, - \frac{20}{3})$

ステップ 2

区間上にない点を除外します。

$(0, 4)$

ステップ 3

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 3.1

$x = - 2$ での値を求めます。

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ステップ 3.1.1

$- 2$ を $x$ に代入します。

$\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2 {(- 2)}^{2} + 4$

ステップ 3.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

$- 2$ を $3$ 乗します。

$\frac{- 8}{3} - 2 {(- 2)}^{2} + 4$

ステップ 3.1.2.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{8}{3} - 2 {(- 2)}^{2} + 4$

ステップ 3.1.2.1.3

指数を足して $- 2$ に ${(- 2)}^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.3.1

$- 2$ に ${(- 2)}^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.3.1.1

$- 2$ を $1$ 乗します。

$- \frac{8}{3} + {(- 2)}^{1} {(- 2)}^{2} + 4$

ステップ 3.1.2.1.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{8}{3} + {(- 2)}^{1 + 2} + 4$

ステップ 3.1.2.1.3.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$- \frac{8}{3} + {(- 2)}^{3} + 4$

ステップ 3.1.2.1.4

$- 2$ を $3$ 乗します。

$- \frac{8}{3} - 8 + 4$

ステップ 3.1.2.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

$- 8$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$- \frac{8}{3} + \frac{- 8}{1} + 4$

ステップ 3.1.2.2.2

$\frac{- 8}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$- \frac{8}{3} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{3}{3} + 4$

ステップ 3.1.2.2.3

$\frac{- 8}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$- \frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + 4$

ステップ 3.1.2.2.4

$4$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$- \frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{4}{1}$

ステップ 3.1.2.2.5

$\frac{4}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$- \frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{4}{1} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 3.1.2.2.6

$\frac{4}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$- \frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}$

ステップ 3.1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 8 - 8 \cdot 3 + 4 \cdot 3}{3}$

ステップ 3.1.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.2.4.1

$- 8$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 8 - 24 + 4 \cdot 3}{3}$

ステップ 3.1.2.4.2

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 8 - 24 + 12}{3}$

ステップ 3.1.2.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.5.1

$- 8$ から $24$ を引きます。

$\frac{- 32 + 12}{3}$

ステップ 3.1.2.5.2

$- 32$ と $12$ をたし算します。

$\frac{- 20}{3}$

ステップ 3.1.2.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{20}{3}$

ステップ 3.2

$x = 1$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$1$ を $x$ に代入します。

$\frac{{(1)}^{3}}{3} - 2 {(1)}^{2} + 4$

ステップ 3.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{3} - 2 {(1)}^{2} + 4$

ステップ 3.2.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{3} - 2 \cdot 1 + 4$

ステップ 3.2.2.1.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} - 2 + 4$

ステップ 3.2.2.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.2.1

$- 2$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{3} + \frac{- 2}{1} + 4$

ステップ 3.2.2.2.2

$\frac{- 2}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{1}{3} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{3}{3} + 4$

ステップ 3.2.2.2.3

$\frac{- 2}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + 4$

ステップ 3.2.2.2.4

$4$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{4}{1}$

ステップ 3.2.2.2.5

$\frac{4}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{4}{1} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 3.2.2.2.6

$\frac{4}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}$

ステップ 3.2.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 - 2 \cdot 3 + 4 \cdot 3}{3}$

ステップ 3.2.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.4.1

$- 2$ に $3$ をかけます。

$\frac{1 - 6 + 4 \cdot 3}{3}$

ステップ 3.2.2.4.2

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{1 - 6 + 12}{3}$

ステップ 3.2.2.5

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.5.1

$1$ から $6$ を引きます。

$\frac{- 5 + 12}{3}$

ステップ 3.2.2.5.2

$- 5$ と $12$ をたし算します。

$\frac{7}{3}$

ステップ 3.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 2, - \frac{20}{3}), (1, \frac{7}{3})$

ステップ 4

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(0, 4)$

最小値： $(- 2, - \frac{20}{3})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例