微分積分例

$f (x) = x^{3} + 6 x^{2} + 9 x + 10$ on $- 4$ , $0$

ステップ 1

臨界点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1.1

総和則では、 $x^{3} + 6 x^{2} + 9 x + 10$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [10]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [10]$

ステップ 1.1.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [10]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{2}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [10]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [10]$

ステップ 1.1.1.2.3

$2$ に $6$ をかけます。

$3 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [10]$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [9 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} + 12 x + 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$

ステップ 1.1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 12 x + 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10]$

ステップ 1.1.1.3.3

$9$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} + 12 x + 9 + \frac{d}{d x} [10]$

ステップ 1.1.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.1

$10$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $10$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} + 12 x + 9 + 0$

ステップ 1.1.1.4.2

$3 x^{2} + 12 x + 9$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} + 12 x + 9$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} + 12 x + 9$ です。

$3 x^{2} + 12 x + 9$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} + 12 x + 9 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} + 12 x + 9 = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$3$ を $3 x^{2} + 12 x + 9$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1.1

$3$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$3 (x^{2}) + 12 x + 9 = 0$

ステップ 1.2.2.1.2

$3$ を $12 x$ で因数分解します。

$3 (x^{2}) + 3 (4 x) + 9 = 0$

ステップ 1.2.2.1.3

$3$ を $9$ で因数分解します。

$3 x^{2} + 3 (4 x) + 3 \cdot 3 = 0$

ステップ 1.2.2.1.4

$3$ を $3 x^{2} + 3 (4 x)$ で因数分解します。

$3 (x^{2} + 4 x) + 3 \cdot 3 = 0$

ステップ 1.2.2.1.5

$3$ を $3 (x^{2} + 4 x) + 3 \cdot 3$ で因数分解します。

$3 (x^{2} + 4 x + 3) = 0$

ステップ 1.2.2.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 4 x + 3$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $3$ で、その和が $4$ です。

$1, 3$

ステップ 1.2.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$3 ((x + 1) (x + 3)) = 0$

ステップ 1.2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$3 (x + 1) (x + 3) = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

ステップ 1.2.4

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 1.2.4.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 1.2.5

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 1.2.5.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 1.2.6

最終解は $3 (x + 1) (x + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, - 3$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{3} + 6 x^{2} + 9 x + 10$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$x = - 1$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$- 1$ を $x$ に代入します。

${(- 1)}^{3} + 6 {(- 1)}^{2} + 9 (- 1) + 10$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.1

$- 1$ を $3$ 乗します。

$- 1 + 6 {(- 1)}^{2} + 9 (- 1) + 10$

ステップ 1.4.1.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- 1 + 6 \cdot 1 + 9 (- 1) + 10$

ステップ 1.4.1.2.1.3

$6$ に $1$ をかけます。

$- 1 + 6 + 9 (- 1) + 10$

ステップ 1.4.1.2.1.4

$9$ に $- 1$ をかけます。

$- 1 + 6 - 9 + 10$

ステップ 1.4.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.2.1

$- 1$ と $6$ をたし算します。

$5 - 9 + 10$

ステップ 1.4.1.2.2.2

$5$ から $9$ を引きます。

$- 4 + 10$

ステップ 1.4.1.2.2.3

$- 4$ と $10$ をたし算します。

$6$

ステップ 1.4.2

$x = - 3$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$- 3$ を $x$ に代入します。

${(- 3)}^{3} + 6 {(- 3)}^{2} + 9 (- 3) + 10$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.1

$- 3$ を $3$ 乗します。

$- 27 + 6 {(- 3)}^{2} + 9 (- 3) + 10$

ステップ 1.4.2.2.1.2

$- 3$ を $2$ 乗します。

$- 27 + 6 \cdot 9 + 9 (- 3) + 10$

ステップ 1.4.2.2.1.3

$6$ に $9$ をかけます。

$- 27 + 54 + 9 (- 3) + 10$

ステップ 1.4.2.2.1.4

$9$ に $- 3$ をかけます。

$- 27 + 54 - 27 + 10$

ステップ 1.4.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.2.1

$- 27$ と $54$ をたし算します。

$27 - 27 + 10$

ステップ 1.4.2.2.2.2

$27$ から $27$ を引きます。

$0 + 10$

ステップ 1.4.2.2.2.3

$0$ と $10$ をたし算します。

$10$

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 1, 6), (- 3, 10)$

ステップ 2

含まれる端点における値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x = - 4$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$- 4$ を $x$ に代入します。

${(- 4)}^{3} + 6 {(- 4)}^{2} + 9 (- 4) + 10$

ステップ 2.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

$- 4$ を $3$ 乗します。

$- 64 + 6 {(- 4)}^{2} + 9 (- 4) + 10$

ステップ 2.1.2.1.2

$- 4$ を $2$ 乗します。

$- 64 + 6 \cdot 16 + 9 (- 4) + 10$

ステップ 2.1.2.1.3

$6$ に $16$ をかけます。

$- 64 + 96 + 9 (- 4) + 10$

ステップ 2.1.2.1.4

$9$ に $- 4$ をかけます。

$- 64 + 96 - 36 + 10$

ステップ 2.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

$- 64$ と $96$ をたし算します。

$32 - 36 + 10$

ステップ 2.1.2.2.2

$32$ から $36$ を引きます。

$- 4 + 10$

ステップ 2.1.2.2.3

$- 4$ と $10$ をたし算します。

$6$

ステップ 2.2

$x = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$0$ を $x$ に代入します。

${(0)}^{3} + 6 {(0)}^{2} + 9 (0) + 10$

ステップ 2.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + 6 {(0)}^{2} + 9 (0) + 10$

ステップ 2.2.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + 6 \cdot 0 + 9 (0) + 10$

ステップ 2.2.2.1.3

$6$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 9 (0) + 10$

ステップ 2.2.2.1.4

$9$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 0 + 10$

ステップ 2.2.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 0 + 10$

ステップ 2.2.2.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 10$

ステップ 2.2.2.2.3

$0$ と $10$ をたし算します。

$10$

ステップ 2.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 4, 6), (0, 10)$

ステップ 3

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(- 3, 10), (0, 10)$

最小値： $(- 1, 6), (- 4, 6)$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例