微分積分例

$g (x) = e^{- x^{6}}$ , $- 2 \leq x \leq 1$

ステップ 1

臨界点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x^{6}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x^{6}$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{6}]$

ステップ 1.1.1.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{6}]$

ステップ 1.1.1.1.3

$u$ のすべての発生を $- x^{6}$ で置き換えます。

$e^{- x^{6}} \frac{d}{d x} [- x^{6}]$

ステップ 1.1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{6}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{6}]$ です。

$e^{- x^{6}} (- \frac{d}{d x} [x^{6}])$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{- x^{6}} (- (6 x^{5}))$

ステップ 1.1.1.2.3

$6$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- x^{6}} (- 6 x^{5})$

ステップ 1.1.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.1

$e^{- x^{6}} (- 6 x^{5})$ の因数を並べ替えます。

$- 6 e^{- x^{6}} x^{5}$

ステップ 1.1.1.3.2

$- 6 e^{- x^{6}} x^{5}$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = - 6 x^{5} e^{- x^{6}}$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $g (x)$ の一次導関数は $- 6 x^{5} e^{- x^{6}}$ です。

$- 6 x^{5} e^{- x^{6}}$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 6 x^{5} e^{- x^{6}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 6 x^{5} e^{- x^{6}} = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{5} = 0$

$e^{- x^{6}} = 0$

ステップ 1.2.3

$x^{5}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$x^{5}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{5} = 0$

ステップ 1.2.3.2

$x$ について $x^{5} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \sqrt[5]{0}$

ステップ 1.2.3.2.2

$\sqrt[5]{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.2.1

$0$ を $0^{5}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

ステップ 1.2.3.2.2.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 1.2.4

$e^{- x^{6}}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$e^{- x^{6}}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{- x^{6}} = 0$

ステップ 1.2.4.2

$x$ について $e^{- x^{6}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{- x^{6}}) = \ln (0)$

ステップ 1.2.4.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 1.2.4.2.3

$e^{- x^{6}} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 1.2.5

最終解は $- 6 x^{5} e^{- x^{6}} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $e^{- x^{6}}$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$x = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$e^{- {(0)}^{6}}$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$e^{- 0}$

ステップ 1.4.1.2.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$e^{0}$

ステップ 1.4.1.2.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$1$

ステップ 1.4.2

点のすべてを一覧にします。

$(0, 1)$

ステップ 2

含まれる端点における値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x = - 2$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$- 2$ を $x$ に代入します。

$e^{- {(- 2)}^{6}}$

ステップ 2.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$- 2$ を $6$ 乗します。

$e^{- 1 \cdot 64}$

ステップ 2.1.2.2

$- 1$ に $64$ をかけます。

$e^{- 64}$

ステップ 2.1.2.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{e^{64}}$

ステップ 2.2

$x = 1$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$1$ を $x$ に代入します。

$e^{- {(1)}^{6}}$

ステップ 2.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$e^{- 1 \cdot 1}$

ステップ 2.2.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e^{- 1}$

ステップ 2.2.2.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{e}$

ステップ 2.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 2, \frac{1}{e^{64}}), (1, \frac{1}{e})$

ステップ 3

$x$ の各値に対して求めた $g (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $g (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $g (x)$ の値で発生します。

最大値： $(0, 1)$

最小値： $(- 2, \frac{1}{e^{64}})$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例