微分積分例

$f (x) = x + \frac{1}{x}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $x + \frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 1.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 1.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 - x^{- 2}$

ステップ 1.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$1 - \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.4

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{x^{2}} + 1$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $- \frac{1}{x^{2}} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.6

${(x^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.6.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.8

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.10

$1$ から $4$ を引きます。

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.11

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.12

$\frac{1}{x^{2}}$ に $0$ をかけます。

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 0 + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.13

$2 x^{- 3}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 0$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{x^{3}}) + 0$

ステップ 2.4.2

項をまとめます。

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ステップ 2.4.2.1

$2$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} + 0$

ステップ 2.4.2.2

$\frac{2}{x^{3}}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

総和則では、 $x + \frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 4.1.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 4.1.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 - x^{- 2}$

ステップ 4.1.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$1 - \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 4.1.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 1$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{1}{x^{2}} + 1$ です。

$- \frac{1}{x^{2}} + 1$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- \frac{1}{x^{2}} = - 1$

ステップ 5.3

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 5.3.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x^{2}, 1$

ステップ 5.3.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x^{2}$

ステップ 5.4

$- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ の各項に $x^{2}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 5.4.1

$- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ の各項に $x^{2}$ を掛けます。

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.1

$- \frac{1}{x^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

ステップ 5.4.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

ステップ 5.4.2.1.3

式を書き換えます。

$- 1 = - x^{2}$

ステップ 5.5

方程式を解きます。

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ステップ 5.5.1

方程式を $- x^{2} = - 1$ として書き換えます。

$- x^{2} = - 1$

ステップ 5.5.2

$- x^{2} = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.5.2.1

$- x^{2} = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 5.5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 5.5.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 5.5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} = 1$

ステップ 5.5.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{1}$

ステップ 5.5.4

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm 1$

ステップ 5.5.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 1$

ステップ 5.5.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 1$

ステップ 5.5.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 1, - 1$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{x^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} = 0$

ステップ 6.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 6.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 6.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 6.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 1, - 1$

ステップ 8

$x = 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{2}{{(1)}^{3}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{2}{1}$

ステップ 9.2

$2$ を $1$ で割ります。

$2$

ステップ 10

$x = 1$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 1$ は極小値です

ステップ 11

$x = 1$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = (1) + \frac{1}{1}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

$1$ を $1$ で割ります。

$f (1) = 1 + 1$

ステップ 11.2.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (1) = 2$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $2$ です。

$y = 2$

ステップ 12

$x = - 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 13.1

$- 1$ を $3$ 乗します。

$\frac{2}{- 1}$

ステップ 13.2

$2$ を $- 1$ で割ります。

$- 2$

ステップ 14

$x = - 1$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 1$ は極大値です

ステップ 15

$x = - 1$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = (- 1) + \frac{1}{- 1}$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

$1$ を $- 1$ で割ります。

$f (- 1) = - 1 - 1$

ステップ 15.2.2

$- 1$ から $1$ を引きます。

$f (- 1) = - 2$

ステップ 15.2.3

最終的な答えは $- 2$ です。

$y = - 2$

ステップ 16

$f (x) = x + \frac{1}{x}$ の極値です。

$(1, 2)$ は極小値です

$(- 1, - 2)$ は極大値です

ステップ 17

微分積分 例

微分積分例