微分積分例

$f (x) = \frac{1}{x}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 1.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- x^{- 2}$

ステップ 1.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.2

微分します。

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ステップ 2.2.1

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} x^{2 \cdot - 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} x^{- 2} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.2.3

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.2.4

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.2.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.2.6

式を簡約します。

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ステップ 2.2.6.1

$\frac{1}{x^{2}}$ に $0$ をかけます。

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 0$

ステップ 2.2.6.2

$2 x^{- 3}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 x^{- 3}$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{x^{3}})$

ステップ 2.3.2

$2$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- \frac{1}{x^{2}} = 0$

ステップ 4

一次導関数が $0$ に等しくなる $x$ の値がないので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 5

極値がありません

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例