微分積分例

$f (x) = \tan^{-1} (x^{2})$ on $- 2$ , $2$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

$f (x) = \tan^{-1} (x)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\tan^{-1} (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.1.1.2

$u$ に関する $\tan^{-1} (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.1.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.1.2

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.2.1

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.1.1.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{1 + x^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.1.2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{1 + x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{1 + x^{4}} (2 x)$

ステップ 1.1.1.2.3

分数をまとめます。

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ステップ 1.1.1.2.3.1

$2$ と $\frac{1}{1 + x^{4}}$ をまとめます。

$\frac{2}{1 + x^{4}} x$

ステップ 1.1.1.2.3.2

$\frac{2}{1 + x^{4}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 x}{1 + x^{4}}$

ステップ 1.1.1.2.3.3

項を並べ替えます。

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{4} + 1}$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{2 x}{x^{4} + 1}$ です。

$\frac{2 x}{x^{4} + 1}$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2 x}{x^{4} + 1} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{2 x}{x^{4} + 1} = 0$

ステップ 1.2.2

分子を0に等しくします。

$2 x = 0$

ステップ 1.2.3

$2 x = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$2 x = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 1.2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{2}$

ステップ 1.2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\tan^{-1} (x^{2})$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$\tan^{-1} ({(0)}^{2})$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\tan^{-1} (0)$

ステップ 1.4.1.2.2

$\tan^{-1} (0)$ の厳密値は $0$ です。

$0$

ステップ 1.4.2

点のすべてを一覧にします。

$(0, 0)$

ステップ 2

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 2.1

$x = - 2$ での値を求めます。

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ステップ 2.1.1

$- 2$ を $x$ に代入します。

$\tan^{-1} ({(- 2)}^{2})$

ステップ 2.1.2

簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$\tan^{-1} (4)$

ステップ 2.1.2.2

$\tan^{-1} (4)$ の値を求めます。

$1.32581766$

ステップ 2.2

$x = 2$ での値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$2$ を $x$ に代入します。

$\tan^{-1} ({(2)}^{2})$

ステップ 2.2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\tan^{-1} (4)$

ステップ 2.2.2.2

$\tan^{-1} (4)$ の値を求めます。

$1.32581766$

ステップ 2.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 2, 1.32581766), (2, 1.32581766)$

ステップ 3

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(- 2, 1.32581766), (2, 1.32581766)$

最小値： $(0, 0)$

ステップ 4

微分積分 例

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