微分積分例

$y = 2 - | t - 2 |$ , $[- 9, 4]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1.1

総和則では、 $2 - | t - 2 |$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [- | t - 2 |]$ です。

$\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [- | t - 2 |]$

ステップ 1.1.1.1.2

$2$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d t} [- | t - 2 |]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d t} [- | t - 2 |]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- | t - 2 |$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [| t - 2 |]$ です。

$0 - \frac{d}{d t} [| t - 2 |]$

ステップ 1.1.1.2.2

$f (t) = | t |$ および $g (t) = t - 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $t - 2$ とします。

$0 - (\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d t} [t - 2])$

ステップ 1.1.1.2.2.2

$u$ に関する $| u |$ の微分係数は $\frac{u}{| u |}$ です。

$0 - (\frac{u}{| u |} \frac{d}{d t} [t - 2])$

ステップ 1.1.1.2.2.3

$u$ のすべての発生を $t - 2$ で置き換えます。

$0 - (\frac{t - 2}{| t - 2 |} \frac{d}{d t} [t - 2])$

ステップ 1.1.1.2.3

総和則では、 $t - 2$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ です。

$0 - (\frac{t - 2}{| t - 2 |} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]))$

ステップ 1.1.1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - (\frac{t - 2}{| t - 2 |} (1 + \frac{d}{d t} [- 2]))$

ステップ 1.1.1.2.5

$- 2$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$0 - (\frac{t - 2}{| t - 2 |} (1 + 0))$

ステップ 1.1.1.2.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$0 - (\frac{t - 2}{| t - 2 |} \cdot 1)$

ステップ 1.1.1.2.7

$\frac{t - 2}{| t - 2 |}$ に $1$ をかけます。

$0 - \frac{t - 2}{| t - 2 |}$

ステップ 1.1.1.3

$0$ から $\frac{t - 2}{| t - 2 |}$ を引きます。

$f' (t) = - \frac{t - 2}{| t - 2 |}$

ステップ 1.1.2

$t$ に関する $f (t)$ の一次導関数は $- \frac{t - 2}{| t - 2 |}$ です。

$- \frac{t - 2}{| t - 2 |}$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{t - 2}{| t - 2 |} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{t - 2}{| t - 2 |} = 0$

ステップ 1.2.2

分子を0に等しくします。

$t - 2 = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の両辺に $2$ を足します。

$t = 2$

ステップ 1.2.4

$- \frac{t - 2}{| t - 2 |} = 0$ が真にならない解を除外します。

$解がありません$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$\frac{t - 2}{| t - 2 |}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$| t - 2 | = 0$

ステップ 1.3.2

$t$ について解きます。

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ステップ 1.3.2.1

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$t - 2 = \pm 0$

ステップ 1.3.2.2

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$t - 2 = 0$

ステップ 1.3.2.3

方程式の両辺に $2$ を足します。

$t = 2$

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $t$ における $2 - | t - 2 |$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$t = 2$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$2$ を $t$ に代入します。

$2 - | (2) - 2 |$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1.1

$2$ から $2$ を引きます。

$2 - | 0 |$

ステップ 1.4.1.2.1.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $0$ の間の距離は $0$ です。

$2 - 0$

ステップ 1.4.1.2.1.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$2 + 0$

ステップ 1.4.1.2.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 1.4.2

点のすべてを一覧にします。

$(2, 2)$

ステップ 2

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 2.1

$t = - 9$ での値を求めます。

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ステップ 2.1.1

$- 9$ を $t$ に代入します。

$2 - | (- 9) - 2 |$

ステップ 2.1.2

簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1.1

$- 9$ から $2$ を引きます。

$2 - | - 11 |$

ステップ 2.1.2.1.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $- 11$ と $0$ の間の距離は $11$ です。

$2 - 1 \cdot 11$

ステップ 2.1.2.1.3

$- 1$ に $11$ をかけます。

$2 - 11$

ステップ 2.1.2.2

$2$ から $11$ を引きます。

$- 9$

ステップ 2.2

$t = 4$ での値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$4$ を $t$ に代入します。

$2 - | (4) - 2 |$

ステップ 2.2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1.1

$4$ から $2$ を引きます。

$2 - | 2 |$

ステップ 2.2.2.1.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$2 - 1 \cdot 2$

ステップ 2.2.2.1.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 - 2$

ステップ 2.2.2.2

$2$ から $2$ を引きます。

$0$

ステップ 2.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 9, - 9), (4, 0)$

ステップ 3

$t$ の各値に対して求めた $f (t)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (t)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (t)$ の値で発生します。

最大値： $(2, 2)$

最小値： $(- 9, - 9)$

ステップ 4

微分積分 例

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