微分積分例

$f (x) = \frac{x - 3}{4 + x}$ , $[- 4, 1]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$f (x) = x - 3$ および $g (x) = 4 + x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(4 + x) \frac{d}{d x} [x - 3] - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{(4 + x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(4 + x) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.3

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(4 + x) (1 + 0) - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(4 + x) \cdot 1 - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.4.2

$4 + x$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 + x - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.5

総和則では、 $4 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{4 + x - (x - 3) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x])}{{(4 + x)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.6

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{4 + x - (x - 3) (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(4 + x)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.7

$0$ と $\frac{d}{d x} [x]$ をたし算します。

$\frac{4 + x - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{{(4 + x)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4 + x - (x - 3) \cdot 1}{{(4 + x)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 + x - (x - 3)}{{(4 + x)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4 + x - x - - 3}{{(4 + x)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.2.1

$4 + x - x - - 3$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.2.1.1

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{4 + 0 - - 3}{{(4 + x)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.2

$4$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4 - - 3}{{(4 + x)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.2

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{4 + 3}{{(4 + x)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.3

$4$ と $3$ をたし算します。

$\frac{7}{{(4 + x)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.3

項を並べ替えます。

$f' (x) = \frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ です。

$\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{7}{{(x + 4)}^{2}} = 0$

ステップ 1.2.2

分子を0に等しくします。

$7 = 0$

ステップ 1.2.3

$7 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x + 4)}^{2} = 0$

ステップ 1.3.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 1.3.2.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{x - 3}{4 + x}$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$x = - 4$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$- 4$ を $x$ に代入します。

$\frac{(- 4) - 3}{4 - 4}$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

括弧を削除します。

$\frac{(- 4) - 3}{4 - 4}$

ステップ 1.4.1.2.2

$4$ から $4$ を引きます。

$\frac{(- 4) - 3}{0}$

ステップ 1.4.1.2.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 1.5

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

ステップ 2

含まれる端点における値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x = - 4$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$- 4$ を $x$ に代入します。

$\frac{(- 4) - 3}{4 - 4}$

ステップ 2.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

括弧を削除します。

$\frac{(- 4) - 3}{4 - 4}$

ステップ 2.1.2.2

$4$ から $4$ を引きます。

$\frac{(- 4) - 3}{0}$

ステップ 2.1.2.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 2.2

$x = 1$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$1$ を $x$ に代入します。

$\frac{(1) - 3}{4 + 1}$

ステップ 2.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

括弧を削除します。

$\frac{(1) - 3}{4 + 1}$

ステップ 2.2.2.2

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{- 2}{4 + 1}$

ステップ 2.2.2.3

$4$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 2}{5}$

ステップ 2.2.2.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{5}$

ステップ 2.3

点のすべてを一覧にします。

$(1, - \frac{2}{5})$

ステップ 3

一次導関数が $0$ に等しくなる $x$ の値がないので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 4

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(1, - \frac{2}{5})$

絶対最小値はありません

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例