微分積分例

$y = {(x^{3} - 4 x)}^{14}$ at the point $(- 2, 0)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = - 2$ と $y = 0$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = x^{14}$ および $g (x) = x^{3} - 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{3} - 4 x$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{14}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x]$

ステップ 1.1.2

$n = 14$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$14 u^{13} \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{3} - 4 x$ で置き換えます。

$14 {(x^{3} - 4 x)}^{13} \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x]$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $x^{3} - 4 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ です。

$14 {(x^{3} - 4 x)}^{13} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

ステップ 1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$14 {(x^{3} - 4 x)}^{13} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

ステップ 1.2.3

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$14 {(x^{3} - 4 x)}^{13} (3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$14 {(x^{3} - 4 x)}^{13} (3 x^{2} - 4 \cdot 1)$

ステップ 1.2.5

$- 4$ に $1$ をかけます。

$14 {(x^{3} - 4 x)}^{13} (3 x^{2} - 4)$

ステップ 1.3

$x = - 2$ で微分係数を求めます。

$14 {({(- 2)}^{3} - 4 \cdot - 2)}^{13} (3 {(- 2)}^{2} - 4)$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.1.1

$- 2$ を $3$ 乗します。

$14 {(- 8 - 4 \cdot - 2)}^{13} (3 {(- 2)}^{2} - 4)$

ステップ 1.4.1.2

$- 4$ に $- 2$ をかけます。

$14 {(- 8 + 8)}^{13} (3 {(- 2)}^{2} - 4)$

ステップ 1.4.2

式を簡約します。

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ステップ 1.4.2.1

$- 8$ と $8$ をたし算します。

$14 \cdot 0^{13} (3 {(- 2)}^{2} - 4)$

ステップ 1.4.2.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$14 \cdot 0 (3 {(- 2)}^{2} - 4)$

ステップ 1.4.2.3

$14$ に $0$ をかけます。

$0 (3 {(- 2)}^{2} - 4)$

ステップ 1.4.3

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.3.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$0 (3 \cdot 4 - 4)$

ステップ 1.4.3.2

$3$ に $4$ をかけます。

$0 (12 - 4)$

ステップ 1.4.4

式を簡約します。

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ステップ 1.4.4.1

$12$ から $4$ を引きます。

$0 \cdot 8$

ステップ 1.4.4.2

$0$ に $8$ をかけます。

$0$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $0$ と与えられた点 $(- 2, 0)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (0) = 0 \cdot (x - (- 2))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y + 0 = 0 \cdot (x + 2)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$y$ と $0$ をたし算します。

$y = 0 \cdot (x + 2)$

ステップ 2.3.2

$0$ に $x + 2$ をかけます。

$y = 0$

ステップ 3

微分積分 例

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