微分積分例

$y = \frac{x + 3}{x - 5}$ , $(4, - 7)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 4$ と $y = - 7$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = x + 3$ および $g (x) = x - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x - 5) \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{(x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.2.3

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x - 5) (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.2.4

式を簡約します。

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ステップ 1.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x - 5) \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.2.4.2

$x - 5$ に $1$ をかけます。

$\frac{x - 5 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.2.5

総和則では、 $x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$\frac{x - 5 - (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x - 5 - (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.2.7

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x - 5 - (x + 3) (1 + 0)}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.2.8

式を簡約します。

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ステップ 1.2.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x - 5 - (x + 3) \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.2.8.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x - 5 - (x + 3)}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x - 5 - x - 1 \cdot 3}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.2

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.2.1

$x - 5 - x - 1 \cdot 3$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 1.3.2.1.1

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{0 - 5 - 1 \cdot 3}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.2

$0$ から $5$ を引きます。

$\frac{- 5 - 1 \cdot 3}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 5 - 3}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.3

$- 5$ から $3$ を引きます。

$\frac{- 8}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{8}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.4

$x = 4$ で微分係数を求めます。

$- \frac{8}{{((4) - 5)}^{2}}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

分母を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

$4$ から $5$ を引きます。

$- \frac{8}{{(- 1)}^{2}}$

ステップ 1.5.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- \frac{8}{1}$

ステップ 1.5.2

式を簡約します。

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ステップ 1.5.2.1

$8$ を $1$ で割ります。

$- 1 \cdot 8$

ステップ 1.5.2.2

$- 1$ に $8$ をかけます。

$- 8$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $- 8$ と与えられた点 $(4, - 7)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (- 7) = - 8 \cdot (x - (4))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y + 7 = - 8 \cdot (x - 4)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$- 8 \cdot (x - 4)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y + 7 = 0 + 0 - 8 \cdot (x - 4)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y + 7 = - 8 \cdot (x - 4)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y + 7 = - 8 x - 8 \cdot - 4$

ステップ 2.3.1.4

$- 8$ に $- 4$ をかけます。

$y + 7 = - 8 x + 32$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺から $7$ を引きます。

$y = - 8 x + 32 - 7$

ステップ 2.3.2.2

$32$ から $7$ を引きます。

$y = - 8 x + 25$

ステップ 3

微分積分 例

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