微分積分例

$y = - \frac{1}{x}$ ; $x = 2$

ステップ 1

$x = 2$ で $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.1

$2$ を $x$ に代入します。

$y = - \frac{1}{2}$

ステップ 1.2

括弧を削除します。

$y = - \frac{1}{2}$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = 2$ と $y = - \frac{1}{2}$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2

微分します。

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ステップ 2.2.1

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.3

掛け算します。

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ステップ 2.2.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.3.2

$x^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

ステップ 2.2.5

式を簡約します。

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ステップ 2.2.5.1

$\frac{1}{x}$ に $0$ をかけます。

$x^{- 2} + 0$

ステップ 2.2.5.2

$x^{- 2}$ と $0$ をたし算します。

$x^{- 2}$

ステップ 2.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{2}}$

ステップ 2.4

$x = 2$ で微分係数を求めます。

$\frac{1}{{(2)}^{2}}$

ステップ 2.5

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{4}$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $\frac{1}{4}$ と与えられた点 $(2, - \frac{1}{2})$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \cdot (x - (2))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot (x - 2)$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$\frac{1}{4} \cdot (x - 2)$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

書き換えます。

$y + \frac{1}{2} = 0 + 0 + \frac{1}{4} \cdot (x - 2)$

ステップ 3.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot (x - 2)$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot - 2$

ステップ 3.3.1.4

$\frac{1}{4}$ と $x$ をまとめます。

$y + \frac{1}{2} = \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot - 2$

ステップ 3.3.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.5.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$y + \frac{1}{2} = \frac{x}{4} + \frac{1}{2 (2)} \cdot - 2$

ステップ 3.3.1.5.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$y + \frac{1}{2} = \frac{x}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

ステップ 3.3.1.5.3

共通因数を約分します。

$y + \frac{1}{2} = \frac{x}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

ステップ 3.3.1.5.4

式を書き換えます。

$y + \frac{1}{2} = \frac{x}{4} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

ステップ 3.3.1.6

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$y + \frac{1}{2} = \frac{x}{4} + \frac{- 1}{2}$

ステップ 3.3.1.7

分数の前に負数を移動させます。

$y + \frac{1}{2} = \frac{x}{4} - \frac{1}{2}$

ステップ 3.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺から $\frac{1}{2}$ を引きます。

$y = \frac{x}{4} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 3.3.2.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 1 - 1}{2}$

ステップ 3.3.2.3

$- 1$ から $1$ を引きます。

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 2}{2}$

ステップ 3.3.2.4

$- 2$ を $2$ で割ります。

$y = \frac{x}{4} - 1$

ステップ 3.3.3

項を並べ替えます。

$y = \frac{1}{4} x - 1$

ステップ 4

微分積分 例

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