微分積分例

$f (x) = \sqrt{4 x + 36}$ ; $x = 0$

ステップ 1

$x = 0$ で $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$y = \sqrt{4 (0) + 36}$

ステップ 1.2

$\sqrt{4 (0) + 36}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$4$ に $0$ をかけます。

$y = \sqrt{0 + 36}$

ステップ 1.2.2

$0$ と $36$ をたし算します。

$y = \sqrt{36}$

ステップ 1.2.3

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$y = \sqrt{6^{2}}$

ステップ 1.2.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$y = 6$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = 0$ と $y = 6$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x + 36}]$ を $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x + 9}]$ に書き換えます。

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ステップ 2.1.1

$4 x + 36$ を $2^{2} (x + 9)$ に書き換えます。

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ステップ 2.1.1.1

$4$ を $4 x$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (x) + 36}]$

ステップ 2.1.1.2

$4$ を $36$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (x) + 4 (9)}]$

ステップ 2.1.1.3

$4$ を $4 (x) + 4 (9)$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (x + 9)}]$

ステップ 2.1.1.4

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} (x + 9)}]$

ステップ 2.1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x + 9}]$

ステップ 2.2

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 9}$ を ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.2.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x + 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 9$ とします。

$2 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 9])$

ステップ 2.3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 9])$

ステップ 2.3.3

$u$ のすべての発生を $x + 9$ で置き換えます。

$2 (\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 9])$

ステップ 2.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

ステップ 2.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 (\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

ステップ 2.6

公分母の分子をまとめます。

$2 (\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

ステップ 2.7

分子を簡約します。

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ステップ 2.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 (\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

ステップ 2.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$2 (\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

ステップ 2.8

項を簡約します。

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ステップ 2.8.1

分数の前に負数を移動させます。

$2 (\frac{1}{2} {(x + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

ステップ 2.8.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$2 (\frac{{(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 9])$

ステップ 2.8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$2 (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

ステップ 2.8.4

$\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

ステップ 2.8.5

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

ステップ 2.8.6

式を書き換えます。

$\frac{1}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

ステップ 2.9

総和則では、 $x + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$\frac{1}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

ステップ 2.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [9])$

ステップ 2.11

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)$

ステップ 2.12

式を簡約します。

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ステップ 2.12.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

ステップ 2.12.2

$\frac{1}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.13

$x = 0$ で微分係数を求めます。

$\frac{1}{{((0) + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.14

分母を簡約します。

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ステップ 2.14.1

$0$ と $9$ をたし算します。

$\frac{1}{9^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.14.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{{(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.14.3

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 2.14.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.14.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 2.14.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{3^{1}}$

ステップ 2.14.5

指数を求めます。

$\frac{1}{3}$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $\frac{1}{3}$ と与えられた点 $(0, 6)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (6) = \frac{1}{3} \cdot (x - (0))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 6 = \frac{1}{3} \cdot (x + 0)$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$\frac{1}{3} \cdot (x + 0)$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

$x$ と $0$ をたし算します。

$y - 6 = \frac{1}{3} \cdot x$

ステップ 3.3.1.2

$\frac{1}{3}$ と $x$ をまとめます。

$y - 6 = \frac{x}{3}$

ステップ 3.3.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$y = \frac{x}{3} + 6$

ステップ 3.3.3

項を並べ替えます。

$y = \frac{1}{3} x + 6$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例