微分積分例

$g (x) = \frac{4 x}{x - 3}$ at $(5, 10)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 5$ と $y = 10$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4 x}{x - 3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 3}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 3}]$

ステップ 1.2

$f (x) = x$ および $g (x) = x - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$4 \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.3

微分します。

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ステップ 1.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \frac{(x - 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.3.2

$x - 3$ に $1$ をかけます。

$4 \frac{x - 3 - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.3.3

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$4 \frac{x - 3 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \frac{x - 3 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.3.5

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$4 \frac{x - 3 - x (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.3.6

項を簡約します。

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ステップ 1.3.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$4 \frac{x - 3 - x \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.3.6.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$4 \frac{x - 3 - x}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.3.6.3

$x$ から $x$ を引きます。

$4 \frac{0 - 3}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.3.6.4

式を簡約します。

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ステップ 1.3.6.4.1

$0$ から $3$ を引きます。

$4 \frac{- 3}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.3.6.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$4 (- \frac{3}{{(x - 3)}^{2}})$

ステップ 1.3.6.4.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$- 4 \frac{3}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.3.6.5

$- 4$ と $\frac{3}{{(x - 3)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 4 \cdot 3}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.3.6.6

式を簡約します。

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ステップ 1.3.6.6.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 12}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.3.6.6.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{12}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.4

$x = 5$ で微分係数を求めます。

$- \frac{12}{{((5) - 3)}^{2}}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

分母を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

$5$ から $3$ を引きます。

$- \frac{12}{2^{2}}$

ステップ 1.5.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$- \frac{12}{4}$

ステップ 1.5.2

式を簡約します。

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ステップ 1.5.2.1

$12$ を $4$ で割ります。

$- 1 \cdot 3$

ステップ 1.5.2.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 3$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $- 3$ と与えられた点 $(5, 10)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (10) = - 3 \cdot (x - (5))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 10 = - 3 \cdot (x - 5)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$- 3 \cdot (x - 5)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 10 = 0 + 0 - 3 \cdot (x - 5)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 10 = - 3 \cdot (x - 5)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 10 = - 3 x - 3 \cdot - 5$

ステップ 2.3.1.4

$- 3$ に $- 5$ をかけます。

$y - 10 = - 3 x + 15$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $10$ を足します。

$y = - 3 x + 15 + 10$

ステップ 2.3.2.2

$15$ と $10$ をたし算します。

$y = - 3 x + 25$

ステップ 3

微分積分 例

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