微分積分例

$f (x) = \frac{1}{x^{3}}$ at $(3, \frac{1}{27})$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 3$ と $y = \frac{1}{27}$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.1.1

$\frac{1}{x^{3}}$ を ${(x^{3})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

ステップ 1.1.2

${(x^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

ステップ 1.1.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

ステップ 1.2

$n = - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 x^{- 4}$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 3 \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 1.3.2

項をまとめます。

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ステップ 1.3.2.1

$- 3$ と $\frac{1}{x^{4}}$ をまとめます。

$\frac{- 3}{x^{4}}$

ステップ 1.3.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{x^{4}}$

ステップ 1.4

$x = 3$ で微分係数を求めます。

$- \frac{3}{{(3)}^{4}}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$3$ と ${(3)}^{4}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$- \frac{3 (1)}{{(3)}^{4}}$

ステップ 1.5.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1.2.1

$3$ を ${(3)}^{4}$ で因数分解します。

$- \frac{3 (1)}{3 \cdot 3^{3}}$

ステップ 1.5.1.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3^{3}}$

ステップ 1.5.1.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{1}{3^{3}}$

ステップ 1.5.2

$3$ を $3$ 乗します。

$- \frac{1}{27}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $- \frac{1}{27}$ と与えられた点 $(3, \frac{1}{27})$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (\frac{1}{27}) = - \frac{1}{27} \cdot (x - (3))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - \frac{1}{27} = - \frac{1}{27} \cdot (x - 3)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$- \frac{1}{27} \cdot (x - 3)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - \frac{1}{27} = 0 + 0 - \frac{1}{27} \cdot (x - 3)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - \frac{1}{27} = - \frac{1}{27} \cdot (x - 3)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - \frac{1}{27} = - \frac{1}{27} x - \frac{1}{27} \cdot - 3$

ステップ 2.3.1.4

$x$ と $\frac{1}{27}$ をまとめます。

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} - \frac{1}{27} \cdot - 3$

ステップ 2.3.1.5

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.5.1

$- \frac{1}{27}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} + \frac{- 1}{27} \cdot - 3$

ステップ 2.3.1.5.2

$3$ を $27$ で因数分解します。

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} + \frac{- 1}{3 (9)} \cdot - 3$

ステップ 2.3.1.5.3

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} + \frac{- 1}{3 \cdot 9} \cdot (3 \cdot - 1)$

ステップ 2.3.1.5.4

共通因数を約分します。

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} + \frac{- 1}{3 \cdot 9} \cdot (3 \cdot - 1)$

ステップ 2.3.1.5.5

式を書き換えます。

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} + \frac{- 1}{9} \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.6

$\frac{- 1}{9}$ と $- 1$ をまとめます。

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} + \frac{- - 1}{9}$

ステップ 2.3.1.7

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} + \frac{1}{9}$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $\frac{1}{27}$ を足します。

$y = - \frac{x}{27} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27}$

ステップ 2.3.2.2

$\frac{1}{9}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$y = - \frac{x}{27} + \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{27}$

ステップ 2.3.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $27$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 2.3.2.3.1

$\frac{1}{9}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$y = - \frac{x}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{27}$

ステップ 2.3.2.3.2

$9$ に $3$ をかけます。

$y = - \frac{x}{27} + \frac{3}{27} + \frac{1}{27}$

ステップ 2.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = - \frac{x}{27} + \frac{3 + 1}{27}$

ステップ 2.3.2.5

$3$ と $1$ をたし算します。

$y = - \frac{x}{27} + \frac{4}{27}$

ステップ 2.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

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ステップ 2.3.3.1

項を並べ替えます。

$y = - (\frac{1}{27} x) + \frac{4}{27}$

ステップ 2.3.3.2

括弧を削除します。

$y = - \frac{1}{27} x + \frac{4}{27}$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例