微分積分例

$y = \frac{6 x}{1 + 11 x^{2}}$ , $(1, \frac{1}{2})$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 1$ と $y = \frac{1}{2}$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{6 x}{1 + 11 x^{2}}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 11 x^{2}}]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 11 x^{2}}]$

ステップ 1.2

$f (x) = x$ および $g (x) = 1 + 11 x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$6 \frac{(1 + 11 x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + 11 x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

ステップ 1.3

微分します。

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ステップ 1.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 \frac{(1 + 11 x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + 11 x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

ステップ 1.3.2

$1 + 11 x^{2}$ に $1$ をかけます。

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + 11 x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

ステップ 1.3.3

総和則では、 $1 + 11 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [11 x^{2}]$ です。

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [11 x^{2}])}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

ステップ 1.3.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [11 x^{2}])}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

ステップ 1.3.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [11 x^{2}]$ をたし算します。

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x \frac{d}{d x} [11 x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

ステップ 1.3.6

$11$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $11 x^{2}$ の微分係数は $11 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x (11 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

ステップ 1.3.7

$11$ に $- 1$ をかけます。

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 11 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

ステップ 1.3.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 11 x (2 x)}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

ステップ 1.3.9

$2$ に $- 11$ をかけます。

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 x \cdot x}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

ステップ 1.4

$x$ を $1$ 乗します。

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 (x^{1} x)}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

ステップ 1.5

$x$ を $1$ 乗します。

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 (x^{1} x^{1})}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

ステップ 1.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 x^{1 + 1}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

ステップ 1.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 x^{2}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

ステップ 1.8

$11 x^{2}$ から $22 x^{2}$ を引きます。

$6 \frac{1 - 11 x^{2}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

ステップ 1.9

$6$ と $\frac{1 - 11 x^{2}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{6 (1 - 11 x^{2})}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

ステップ 1.10

簡約します。

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ステップ 1.10.1

分配則を当てはめます。

$\frac{6 \cdot 1 + 6 (- 11 x^{2})}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

ステップ 1.10.2

各項を簡約します。

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ステップ 1.10.2.1

$6$ に $1$ をかけます。

$\frac{6 + 6 (- 11 x^{2})}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

ステップ 1.10.2.2

$- 11$ に $6$ をかけます。

$\frac{6 - 66 x^{2}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

ステップ 1.10.3

項を並べ替えます。

$\frac{- 66 x^{2} + 6}{{(11 x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.11

$x = 1$ で微分係数を求めます。

$\frac{- 66 {(1)}^{2} + 6}{{(11 {(1)}^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.12

簡約します。

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ステップ 1.12.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.12.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{- 66 \cdot 1 + 6}{{(11 \cdot 1^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.12.1.2

$- 66$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 66 + 6}{{(11 \cdot 1^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.12.1.3

$- 66$ と $6$ をたし算します。

$\frac{- 60}{{(11 \cdot 1^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.12.2

分母を簡約します。

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ステップ 1.12.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{- 60}{{(11 \cdot 1 + 1)}^{2}}$

ステップ 1.12.2.2

$11$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 60}{{(11 + 1)}^{2}}$

ステップ 1.12.2.3

$11$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 60}{12^{2}}$

ステップ 1.12.2.4

$12$ を $2$ 乗します。

$\frac{- 60}{144}$

ステップ 1.12.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 1.12.3.1

$- 60$ と $144$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.12.3.1.1

$12$ を $- 60$ で因数分解します。

$\frac{12 (- 5)}{144}$

ステップ 1.12.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.12.3.1.2.1

$12$ を $144$ で因数分解します。

$\frac{12 \cdot - 5}{12 \cdot 12}$

ステップ 1.12.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{12 \cdot - 5}{12 \cdot 12}$

ステップ 1.12.3.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 5}{12}$

ステップ 1.12.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{5}{12}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $- \frac{5}{12}$ と与えられた点 $(1, \frac{1}{2})$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (\frac{1}{2}) = - \frac{5}{12} \cdot (x - (1))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - \frac{1}{2} = - \frac{5}{12} \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$- \frac{5}{12} \cdot (x - 1)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - \frac{1}{2} = 0 + 0 - \frac{5}{12} \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - \frac{1}{2} = - \frac{5}{12} \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - \frac{1}{2} = - \frac{5}{12} x - \frac{5}{12} \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.4

$x$ と $\frac{5}{12}$ をまとめます。

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 5}{12} - \frac{5}{12} \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.5

$- \frac{5}{12} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 5}{12} + 1 (\frac{5}{12})$

ステップ 2.3.1.5.2

$\frac{5}{12}$ に $1$ をかけます。

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{5}{12}$

ステップ 2.3.1.6

$5$ を $x$ の左に移動させます。

$y - \frac{1}{2} = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12}$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $\frac{1}{2}$ を足します。

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} + \frac{1}{2}$

ステップ 2.3.2.2

$\frac{1}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} + \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{6}$

ステップ 2.3.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $12$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 2.3.2.3.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{6}{6}$ をかけます。

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} + \frac{6}{2 \cdot 6}$

ステップ 2.3.2.3.2

$2$ に $6$ をかけます。

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} + \frac{6}{12}$

ステップ 2.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5 + 6}{12}$

ステップ 2.3.2.5

$5$ と $6$ をたし算します。

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{11}{12}$

ステップ 2.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

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ステップ 2.3.3.1

項を並べ替えます。

$y = - (\frac{5}{12} x) + \frac{11}{12}$

ステップ 2.3.3.2

括弧を削除します。

$y = - \frac{5}{12} x + \frac{11}{12}$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例