微分積分例

$y = x^{2} + 2 x + 1$ ; $x = - 2$

ステップ 1

$x = - 2$ で $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.1

$- 2$ を $x$ に代入します。

$y = {(- 2)}^{2} + 2 (- 2) + 1$

ステップ 1.2

${(- 2)}^{2} + 2 (- 2) + 1$ を簡約します。

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ステップ 1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$y = 4 + 2 (- 2) + 1$

ステップ 1.2.1.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$y = 4 - 4 + 1$

ステップ 1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

$4$ から $4$ を引きます。

$y = 0 + 1$

ステップ 1.2.2.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$y = 1$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = - 2$ と $y = 1$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $x^{2} + 2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 2 + 0$

ステップ 2.3.2

$2 x + 2$ と $0$ をたし算します。

$2 x + 2$

ステップ 2.4

$x = - 2$ で微分係数を求めます。

$2 (- 2) + 2$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

$2$ に $- 2$ をかけます。

$- 4 + 2$

ステップ 2.5.2

$- 4$ と $2$ をたし算します。

$- 2$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $- 2$ と与えられた点 $(- 2, 1)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (1) = - 2 \cdot (x - (- 2))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 1 = - 2 \cdot (x + 2)$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$- 2 \cdot (x + 2)$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

書き換えます。

$y - 1 = 0 + 0 - 2 \cdot (x + 2)$

ステップ 3.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 1 = - 2 \cdot (x + 2)$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 1 = - 2 x - 2 \cdot 2$

ステップ 3.3.1.4

$- 2$ に $2$ をかけます。

$y - 1 = - 2 x - 4$

ステップ 3.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = - 2 x - 4 + 1$

ステップ 3.3.2.2

$- 4$ と $1$ をたし算します。

$y = - 2 x - 3$

ステップ 4

微分積分 例

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