微分積分例

$y = \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$ ; $x = 2$

ステップ 1

$x = 2$ で $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.1

$2$ を $x$ に代入します。

$y = \frac{1}{{({(2)}^{2} - 1)}^{3}}$

ステップ 1.2

$y$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

括弧を削除します。

$y = \frac{1}{{(2^{2} - 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.2

括弧を削除します。

$y = \frac{1}{{({(2)}^{2} - 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.3

分母を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{1}{{(4 - 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.3.2

$4$ から $1$ を引きます。

$y = \frac{1}{3^{3}}$

ステップ 1.2.3.3

$3$ を $3$ 乗します。

$y = \frac{1}{27}$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = 2$ と $y = \frac{1}{27}$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.1.1

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$ を ${({(x^{2} - 1)}^{3})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{({(x^{2} - 1)}^{3})}^{- 1}]$

ステップ 2.1.2

${({(x^{2} - 1)}^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{3 \cdot - 1}]$

ステップ 2.1.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{- 3}]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{- 3}$ および $g (x) = x^{2} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

ステップ 2.2.2

$n = - 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 1$ で置き換えます。

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

ステップ 2.3

微分します。

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ステップ 2.3.1

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 2.3.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} (2 x + 0)$

ステップ 2.3.4

式を簡約します。

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ステップ 2.3.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} (2 x)$

ステップ 2.3.4.2

$2$ に $- 3$ をかけます。

$- 6 {(x^{2} - 1)}^{- 4} x$

ステップ 2.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 6 \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{4}} x$

ステップ 2.5

項をまとめます。

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ステップ 2.5.1

$- 6$ と $\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$ をまとめます。

$\frac{- 6}{{(x^{2} - 1)}^{4}} x$

ステップ 2.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{6}{{(x^{2} - 1)}^{4}} x$

ステップ 2.5.3

$x$ と $\frac{6}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$ をまとめます。

$- \frac{x \cdot 6}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.4

$6$ を $x$ の左に移動させます。

$- \frac{6 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.6

$x = 2$ で微分係数を求めます。

$- \frac{6 (2)}{{({(2)}^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.7

簡約します。

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ステップ 2.7.1

$6$ に $2$ をかけます。

$- \frac{12}{{(2^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 2.7.2

分母を簡約します。

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ステップ 2.7.2.1

$2$ を $2$ 乗します。

$- \frac{12}{{(4 - 1)}^{4}}$

ステップ 2.7.2.2

$4$ から $1$ を引きます。

$- \frac{12}{3^{4}}$

ステップ 2.7.2.3

$3$ を $4$ 乗します。

$- \frac{12}{81}$

ステップ 2.7.3

$12$ と $81$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.7.3.1

$3$ を $12$ で因数分解します。

$- \frac{3 (4)}{81}$

ステップ 2.7.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.7.3.2.1

$3$ を $81$ で因数分解します。

$- \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 27}$

ステップ 2.7.3.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 27}$

ステップ 2.7.3.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{4}{27}$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $- \frac{4}{27}$ と与えられた点 $(2, \frac{1}{27})$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (\frac{1}{27}) = - \frac{4}{27} \cdot (x - (2))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - \frac{1}{27} = - \frac{4}{27} \cdot (x - 2)$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$- \frac{4}{27} \cdot (x - 2)$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

書き換えます。

$y - \frac{1}{27} = 0 + 0 - \frac{4}{27} \cdot (x - 2)$

ステップ 3.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - \frac{1}{27} = - \frac{4}{27} \cdot (x - 2)$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - \frac{1}{27} = - \frac{4}{27} x - \frac{4}{27} \cdot - 2$

ステップ 3.3.1.4

$x$ と $\frac{4}{27}$ をまとめます。

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x \cdot 4}{27} - \frac{4}{27} \cdot - 2$

ステップ 3.3.1.5

$- \frac{4}{27} \cdot - 2$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1.5.1

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x \cdot 4}{27} + 2 (\frac{4}{27})$

ステップ 3.3.1.5.2

$2$ と $\frac{4}{27}$ をまとめます。

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x \cdot 4}{27} + \frac{2 \cdot 4}{27}$

ステップ 3.3.1.5.3

$2$ に $4$ をかけます。

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x \cdot 4}{27} + \frac{8}{27}$

ステップ 3.3.1.6

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$y - \frac{1}{27} = - \frac{4 x}{27} + \frac{8}{27}$

ステップ 3.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺に $\frac{1}{27}$ を足します。

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{8}{27} + \frac{1}{27}$

ステップ 3.3.2.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{- 4 x + 8 + 1}{27}$

ステップ 3.3.2.3

$8$ と $1$ をたし算します。

$y = \frac{- 4 x + 9}{27}$

ステップ 3.3.2.4

分数 $\frac{- 4 x + 9}{27}$ を2つの分数に分割します。

$y = \frac{- 4 x}{27} + \frac{9}{27}$

ステップ 3.3.2.5

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.2.5.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{9}{27}$

ステップ 3.3.2.5.2

$9$ と $27$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.5.2.1

$9$ を $9$ で因数分解します。

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{9 (1)}{27}$

ステップ 3.3.2.5.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.5.2.2.1

$9$ を $27$ で因数分解します。

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 3}$

ステップ 3.3.2.5.2.2.2

共通因数を約分します。

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 3}$

ステップ 3.3.2.5.2.2.3

式を書き換えます。

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{1}{3}$

ステップ 3.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

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ステップ 3.3.3.1

項を並べ替えます。

$y = - (\frac{4}{27} x) + \frac{1}{3}$

ステップ 3.3.3.2

括弧を削除します。

$y = - \frac{4}{27} x + \frac{1}{3}$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例