微分積分例

$f (x) = \ln (x^{4})$ ; $x = e^{2}$

ステップ 1

$x = e^{2}$ で $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.1

$e^{2}$ を $x$ に代入します。

$y = \ln ({(e^{2})}^{4})$

ステップ 1.2

$y$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

括弧を削除します。

$y = \ln ({(e^{2})}^{4})$

ステップ 1.2.2

$\ln ({(e^{2})}^{4})$ を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

${(e^{2})}^{4}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \ln (e^{2 \cdot 4})$

ステップ 1.2.2.1.2

$2$ に $4$ をかけます。

$y = \ln (e^{8})$

ステップ 1.2.2.2

対数の法則を利用して指数の外に $8$ を移動します。

$y = 8 \ln (e)$

ステップ 1.2.2.3

$e$ の自然対数は $1$ です。

$y = 8 \cdot 1$

ステップ 1.2.2.4

$8$ に $1$ をかけます。

$y = 8$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = e^{2}$ と $y = 8$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{4}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 2.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{4}$ で置き換えます。

$\frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 2.2

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{4}} (4 x^{3})$

ステップ 2.2.2

項を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$4$ と $\frac{1}{x^{4}}$ をまとめます。

$\frac{4}{x^{4}} x^{3}$

ステップ 2.2.2.2

$\frac{4}{x^{4}}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{4 x^{3}}{x^{4}}$

ステップ 2.2.2.3

$x^{3}$ と $x^{4}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.3.1

$x^{3}$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{4}}$

ステップ 2.2.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.3.2.1

$x^{3}$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{3} x}$

ステップ 2.2.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{3} x}$

ステップ 2.2.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{4}{x}$

ステップ 2.3

$x = e^{2}$ で微分係数を求めます。

$\frac{4}{e^{2}}$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $\frac{4}{e^{2}}$ と与えられた点 $(e^{2}, 8)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (8) = \frac{4}{e^{2}} \cdot (x - (e^{2}))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 8 = \frac{4}{e^{2}} \cdot (x - e^{2})$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$\frac{4}{e^{2}} \cdot (x - e^{2})$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

書き換えます。

$y - 8 = 0 + 0 + \frac{4}{e^{2}} \cdot (x - e^{2})$

ステップ 3.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 8 = \frac{4}{e^{2}} \cdot (x - e^{2})$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 8 = \frac{4}{e^{2}} x + \frac{4}{e^{2}} (- e^{2})$

ステップ 3.3.1.4

$\frac{4}{e^{2}}$ と $x$ をまとめます。

$y - 8 = \frac{4 x}{e^{2}} + \frac{4}{e^{2}} (- e^{2})$

ステップ 3.3.1.5

$e^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.5.1

$e^{2}$ を $- e^{2}$ で因数分解します。

$y - 8 = \frac{4 x}{e^{2}} + \frac{4}{e^{2}} (e^{2} \cdot - 1)$

ステップ 3.3.1.5.2

共通因数を約分します。

$y - 8 = \frac{4 x}{e^{2}} + \frac{4}{e^{2}} (e^{2} \cdot - 1)$

ステップ 3.3.1.5.3

式を書き換えます。

$y - 8 = \frac{4 x}{e^{2}} + 4 \cdot - 1$

ステップ 3.3.1.6

$4$ に $- 1$ をかけます。

$y - 8 = \frac{4 x}{e^{2}} - 4$

ステップ 3.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺に $8$ を足します。

$y = \frac{4 x}{e^{2}} - 4 + 8$

ステップ 3.3.2.2

$- 4$ と $8$ をたし算します。

$y = \frac{4 x}{e^{2}} + 4$

ステップ 3.3.3

項を並べ替えます。

$y = \frac{4}{e^{2}} x + 4$

ステップ 4

微分積分 例

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