微分積分例

$f (x) = - 2 - \cos (x)$ at $x = - \frac{π}{4}$

ステップ 1

$x = - \frac{π}{4}$ で $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.1

$- \frac{π}{4}$ を $x$ に代入します。

$y = - 2 - \cos (- \frac{π}{4})$

ステップ 1.2

$y$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

括弧を削除します。

$y = - 2 - \cos (- \frac{π}{4})$

ステップ 1.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を加えます。

$y = - 2 - \cos (\frac{7 π}{4})$

ステップ 1.2.2.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$y = - 2 - \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 1.2.2.3

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$y = - 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = - \frac{π}{4}$ と $y = - 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $- 2 - \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

ステップ 2.1.2

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 2.2.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$0 - - \sin (x)$

ステップ 2.2.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$0 + 1 \sin (x)$

ステップ 2.2.4

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$0 + \sin (x)$

ステップ 2.3

$0$ と $\sin (x)$ をたし算します。

$\sin (x)$

ステップ 2.4

$x = - \frac{π}{4}$ で微分係数を求めます。

$\sin (- \frac{π}{4})$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を加えます。

$\sin (\frac{7 π}{4})$

ステップ 2.5.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$- \sin (\frac{π}{4})$

ステップ 2.5.3

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ と与えられた点 $(- \frac{π}{4}, - 2 - \frac{\sqrt{2}}{2})$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (- 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (x - (- \frac{π}{4}))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (x + \frac{π}{4})$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (x + \frac{π}{4})$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

書き換えます。

$y + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 + 0 - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (x + \frac{π}{4})$

ステップ 3.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (x + \frac{π}{4})$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{π}{4}$

ステップ 3.3.1.4

$x$ と $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$y + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{π}{4}$

ステップ 3.3.1.5

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{π}{4}$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1.5.1

$\frac{π}{4}$ に $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をかけます。

$y + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{π \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

ステップ 3.3.1.5.2

$4$ に $2$ をかけます。

$y + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{π \sqrt{2}}{8}$

ステップ 3.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{π \sqrt{2}}{8} - 2$

ステップ 3.3.2.2

方程式の両辺から $\frac{\sqrt{2}}{2}$ を引きます。

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{π \sqrt{2}}{8} - 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

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ステップ 3.3.3.1

$- 2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{8}{8}$ を掛けます。

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{π \sqrt{2}}{8} - 2 \cdot \frac{8}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.3.3.2

$- 2$ と $\frac{8}{8}$ をまとめます。

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{π \sqrt{2}}{8} + \frac{- 2 \cdot 8}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.3.3.3

公分母の分子をまとめます。

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- π \sqrt{2} - 2 \cdot 8}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.3.3.4

$- 2$ に $8$ をかけます。

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- π \sqrt{2} - 16}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.3.3.5

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- π \sqrt{2} - 16}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 3.3.3.6

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $8$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.3.3.6.1

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- π \sqrt{2} - 16}{8} - \frac{\sqrt{2} \cdot 4}{2 \cdot 4}$

ステップ 3.3.3.6.2

$2$ に $4$ をかけます。

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- π \sqrt{2} - 16}{8} - \frac{\sqrt{2} \cdot 4}{8}$

ステップ 3.3.3.7

公分母の分子をまとめます。

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- π \sqrt{2} - 16 - \sqrt{2} \cdot 4}{8}$

ステップ 3.3.3.8

$4$ に $- 1$ をかけます。

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- π \sqrt{2} - 16 - 4 \sqrt{2}}{8}$

ステップ 3.3.3.9

$- 1$ を $- π \sqrt{2}$ で因数分解します。

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- (π \sqrt{2}) - 16 - 4 \sqrt{2}}{8}$

ステップ 3.3.3.10

$- 16$ を $- 1 (16)$ に書き換えます。

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- (π \sqrt{2}) - 1 (16) - 4 \sqrt{2}}{8}$

ステップ 3.3.3.11

$- 1$ を $- (π \sqrt{2}) - 1 (16)$ で因数分解します。

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- (π \sqrt{2} + 16) - 4 \sqrt{2}}{8}$

ステップ 3.3.3.12

$- 1$ を $- 4 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- (π \sqrt{2} + 16) - (4 \sqrt{2})}{8}$

ステップ 3.3.3.13

$- 1$ を $- (π \sqrt{2} + 16) - (4 \sqrt{2})$ で因数分解します。

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- (π \sqrt{2} + 16 + 4 \sqrt{2})}{8}$

ステップ 3.3.3.14

$- (π \sqrt{2} + 16 + 4 \sqrt{2})$ を $- 1 (π \sqrt{2} + 16 + 4 \sqrt{2})$ に書き換えます。

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- 1 (π \sqrt{2} + 16 + 4 \sqrt{2})}{8}$

ステップ 3.3.3.15

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{π \sqrt{2} + 16 + 4 \sqrt{2}}{8}$

ステップ 3.3.3.16

項を並べ替えます。

$y = - (\frac{\sqrt{2}}{2} x) - \frac{π \sqrt{2} + 16 + 4 \sqrt{2}}{8}$

ステップ 3.3.3.17

括弧を削除します。

$y = - \frac{\sqrt{2}}{2} x - \frac{π \sqrt{2} + 16 + 4 \sqrt{2}}{8}$

ステップ 4

微分積分 例

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