微分積分例

$f (x) = x {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ ; $x = 2$

ステップ 1

$x = 2$ で $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.1

$2$ を $x$ に代入します。

$y = (2) {({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$

ステップ 1.2

$y$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

括弧を削除します。

$y = 2 {(2^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$

ステップ 1.2.2

括弧を削除します。

$y = (2) {({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$

ステップ 1.2.3

$(2) {({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$y = 2 {(4 - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$

ステップ 1.2.3.1.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$y = 2 {(4 - 8 + 5)}^{8}$

ステップ 1.2.3.2

式を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$4$ から $8$ を引きます。

$y = 2 {(- 4 + 5)}^{8}$

ステップ 1.2.3.2.2

$- 4$ と $5$ をたし算します。

$y = 2 \cdot 1^{8}$

ステップ 1.2.3.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$y = 2 \cdot 1$

ステップ 1.2.3.2.4

$2$ に $1$ をかけます。

$y = 2$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = 2$ と $y = 2$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}] + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{8}$ および $g (x) = x^{2} - 4 x + 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 4 x + 5$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 5]) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2.2

$n = 8$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (8 u^{7} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 5]) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 4 x + 5$ で置き換えます。

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 5]) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

微分します。

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ステップ 2.3.1

総和則では、 $x^{2} - 4 x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.3

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.5

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.6

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4 + 0)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.7

$2 x - 4$ と $0$ をたし算します。

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \cdot 1$

ステップ 2.3.9

${(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ に $1$ をかけます。

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$

ステップ 2.4

${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ を $x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ で因数分解します。

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ステップ 2.4.1

${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ を $x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4))$ で因数分解します。

${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x (8 (2 x - 4))) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$

ステップ 2.4.2

${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ を ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ で因数分解します。

${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x (8 (2 x - 4))) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x^{2} - 4 x + 5)$

ステップ 2.4.3

${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ を ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x (8 (2 x - 4))) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x^{2} - 4 x + 5)$ で因数分解します。

${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x (8 (2 x - 4)) + x^{2} - 4 x + 5)$

ステップ 2.5

$x = 2$ で微分係数を求めます。

${({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

ステップ 2.6

簡約します。

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ステップ 2.6.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.6.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

${(4 - 4 \cdot 2 + 5)}^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

ステップ 2.6.1.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

${(4 - 8 + 5)}^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

ステップ 2.6.2

式を簡約します。

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ステップ 2.6.2.1

$4$ から $8$ を引きます。

${(- 4 + 5)}^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

ステップ 2.6.2.2

$- 4$ と $5$ をたし算します。

$1^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

ステップ 2.6.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$1 ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

ステップ 2.6.2.4

$(2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$ に $1$ をかけます。

$(2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

ステップ 2.6.3

各項を簡約します。

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ステップ 2.6.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$2 (8 (4 - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

ステップ 2.6.3.2

$4$ から $4$ を引きます。

$2 (8 \cdot 0) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

ステップ 2.6.3.3

$2 (8 \cdot 0)$ を掛けます。

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ステップ 2.6.3.3.1

$8$ に $0$ をかけます。

$2 \cdot 0 + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

ステップ 2.6.3.3.2

$2$ に $0$ をかけます。

$0 + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

ステップ 2.6.3.4

$2$ を $2$ 乗します。

$0 + 4 - 4 \cdot 2 + 5$

ステップ 2.6.3.5

$- 4$ に $2$ をかけます。

$0 + 4 - 8 + 5$

ステップ 2.6.4

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 2.6.4.1

$0$ と $4$ をたし算します。

$4 - 8 + 5$

ステップ 2.6.4.2

$4$ から $8$ を引きます。

$- 4 + 5$

ステップ 2.6.4.3

$- 4$ と $5$ をたし算します。

$1$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $1$ と与えられた点 $(2, 2)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (2) = 1 \cdot (x - (2))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 2 = 1 \cdot (x - 2)$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$x - 2$ に $1$ をかけます。

$y - 2 = x - 2$

ステップ 3.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$y = x - 2 + 2$

ステップ 3.3.2.2

$x - 2 + 2$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.3.2.2.1

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$y = x + 0$

ステップ 3.3.2.2.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$y = x$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例