微分積分例

$f (x) = \frac{1}{x - 3}$ ; $x = - 1$

ステップ 1

$x = - 1$ で $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.1

$- 1$ を $x$ に代入します。

$y = \frac{1}{(- 1) - 3}$

ステップ 1.2

$y$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

括弧を削除します。

$y = \frac{1}{- 1 - 3}$

ステップ 1.2.2

括弧を削除します。

$y = \frac{1}{(- 1) - 3}$

ステップ 1.2.3

$\frac{1}{(- 1) - 3}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$- 1$ から $3$ を引きます。

$y = \frac{1}{- 4}$

ステップ 1.2.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{1}{4}$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = - 1$ と $y = - \frac{1}{4}$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{x - 3}$ を ${(x - 3)}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{- 1}]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 3$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 3]$

ステップ 2.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 3]$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $x - 3$ で置き換えます。

$- {(x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 3]$

ステップ 2.3

微分します。

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ステップ 2.3.1

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$- {(x - 3)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- {(x - 3)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 2.3.3

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$- {(x - 3)}^{- 2} (1 + 0)$

ステップ 2.3.4

式を簡約します。

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ステップ 2.3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$- {(x - 3)}^{- 2} \cdot 1$

ステップ 2.3.4.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- {(x - 3)}^{- 2}$

ステップ 2.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.5

$x = - 1$ で微分係数を求めます。

$- \frac{1}{{((- 1) - 3)}^{2}}$

ステップ 2.6

分母を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$- 1$ から $3$ を引きます。

$- \frac{1}{{(- 4)}^{2}}$

ステップ 2.6.2

$- 4$ を $2$ 乗します。

$- \frac{1}{16}$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $- \frac{1}{16}$ と与えられた点 $(- 1, - \frac{1}{4})$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} \cdot (x - (- 1))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y + \frac{1}{4} = - \frac{1}{16} \cdot (x + 1)$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$- \frac{1}{16} \cdot (x + 1)$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

書き換えます。

$y + \frac{1}{4} = 0 + 0 - \frac{1}{16} \cdot (x + 1)$

ステップ 3.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y + \frac{1}{4} = - \frac{1}{16} \cdot (x + 1)$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y + \frac{1}{4} = - \frac{1}{16} x - \frac{1}{16} \cdot 1$

ステップ 3.3.1.4

$x$ と $\frac{1}{16}$ をまとめます。

$y + \frac{1}{4} = - \frac{x}{16} - \frac{1}{16} \cdot 1$

ステップ 3.3.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$y + \frac{1}{4} = - \frac{x}{16} - \frac{1}{16}$

ステップ 3.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺から $\frac{1}{4}$ を引きます。

$y = - \frac{x}{16} - \frac{1}{16} - \frac{1}{4}$

ステップ 3.3.2.2

$- \frac{1}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$y = - \frac{x}{16} - \frac{1}{16} - \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 3.3.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $16$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.3.2.3.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$y = - \frac{x}{16} - \frac{1}{16} - \frac{4}{4 \cdot 4}$

ステップ 3.3.2.3.2

$4$ に $4$ をかけます。

$y = - \frac{x}{16} - \frac{1}{16} - \frac{4}{16}$

ステップ 3.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = - \frac{x}{16} + \frac{- 1 - 4}{16}$

ステップ 3.3.2.5

$- 1$ から $4$ を引きます。

$y = - \frac{x}{16} + \frac{- 5}{16}$

ステップ 3.3.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{x}{16} - \frac{5}{16}$

ステップ 3.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

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ステップ 3.3.3.1

項を並べ替えます。

$y = - (\frac{1}{16} x) - \frac{5}{16}$

ステップ 3.3.3.2

括弧を削除します。

$y = - \frac{1}{16} x - \frac{5}{16}$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例