微分積分例

$y = x^{\cos (x)}$ ; $x = 1$

ステップ 1

$x = 1$ で $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.1

$1$ を $x$ に代入します。

$y = {(1)}^{\cos (1)}$

ステップ 1.2

$y$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

括弧を削除します。

$y = 1^{\cos (1)}$

ステップ 1.2.2

括弧を削除します。

$y = {(1)}^{\cos (1)}$

ステップ 1.2.3

${(1)}^{\cos (1)}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$\cos (1)$ の値を求めます。

$y = 1^{0.99984769}$

ステップ 1.2.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$y = 1$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = 1$ と $y = 1$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

対数の性質を利用して微分を簡約します。

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ステップ 2.1.1

$x^{\cos (x)}$ を $e^{\ln (x^{\cos (x)})}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\cos (x)})}]$

ステップ 2.1.2

$\cos (x)$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{\cos (x)})$ を展開します。

$\frac{d}{d x} [e^{\cos (x) \ln (x)}]$

ステップ 2.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \cos (x) \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\cos (x) \ln (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$

ステップ 2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $\cos (x) \ln (x)$ で置き換えます。

$e^{\cos (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$

ステップ 2.3

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{\cos (x) \ln (x)} (\cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 2.4

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$e^{\cos (x) \ln (x)} (\cos (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 2.5

$\cos (x)$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$e^{\cos (x) \ln (x)} (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 2.6

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$e^{\cos (x) \ln (x)} (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) (- \sin (x)))$

ステップ 2.7

簡約します。

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ステップ 2.7.1

分配則を当てはめます。

$e^{\cos (x) \ln (x)} \frac{\cos (x)}{x} + e^{\cos (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \sin (x)))$

ステップ 2.7.2

$e^{\cos (x) \ln (x)}$ と $\frac{\cos (x)}{x}$ をまとめます。

$\frac{e^{\cos (x) \ln (x)} \cos (x)}{x} + e^{\cos (x) \ln (x)} \ln (x) (- \sin (x))$

ステップ 2.7.3

項を並べ替えます。

$- e^{\cos (x) \ln (x)} \sin (x) \ln (x) + \frac{e^{\cos (x) \ln (x)} \cos (x)}{x}$

ステップ 2.8

$x = 1$ で微分係数を求めます。

$- e^{\cos (1) \ln (1)} \sin (1) \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

ステップ 2.9

簡約します。

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ステップ 2.9.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.9.1.1

$\cos (1)$ の値を求めます。

$- e^{0.99984769 \ln (1)} \sin (1) \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

ステップ 2.9.1.2

対数の中の $0.99984769$ を移動させて $0.99984769 \ln (1)$ を簡約します。

$- e^{\ln (1^{0.99984769})} \sin (1) \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

ステップ 2.9.1.3

指数関数と対数関数は逆関数です。

$- 1^{0.99984769} \sin (1) \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

ステップ 2.9.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$- 1 \cdot 1 \sin (1) \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

ステップ 2.9.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1 \sin (1) \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

ステップ 2.9.1.6

$\sin (1)$ の値を求めます。

$- 1 \cdot 0.0174524 \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

ステップ 2.9.1.7

$- 1$ に $0.0174524$ をかけます。

$- 0.0174524 \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

ステップ 2.9.1.8

$1$ の自然対数は $0$ です。

$- 0.0174524 \cdot 0 + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

ステップ 2.9.1.9

$- 0.0174524$ に $0$ をかけます。

$0 + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

ステップ 2.9.1.10

$e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)$ を $1$ で割ります。

$0 + e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)$

ステップ 2.9.1.11

$\cos (1)$ の値を求めます。

$0 + e^{0.99984769 \ln (1)} \cos (1)$

ステップ 2.9.1.12

対数の中の $0.99984769$ を移動させて $0.99984769 \ln (1)$ を簡約します。

$0 + e^{\ln (1^{0.99984769})} \cos (1)$

ステップ 2.9.1.13

指数関数と対数関数は逆関数です。

$0 + 1^{0.99984769} \cos (1)$

ステップ 2.9.1.14

1のすべての数の累乗は1です。

$0 + 1 \cos (1)$

ステップ 2.9.1.15

$\cos (1)$ に $1$ をかけます。

$0 + \cos (1)$

ステップ 2.9.1.16

$\cos (1)$ の値を求めます。

$0 + 0.99984769$

ステップ 2.9.2

$0$ と $0.99984769$ をたし算します。

$0.99984769$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $0.99984769$ と与えられた点 $(1, 1)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (1) = 0.99984769 \cdot (x - (1))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 1 = 0.99984769 \cdot (x - 1)$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$0.99984769 \cdot (x - 1)$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

書き換えます。

$y - 1 = 0 + 0 + 0.99984769 \cdot (x - 1)$

ステップ 3.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 1 = 0.99984769 \cdot (x - 1)$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 1 = 0.99984769 x + 0.99984769 \cdot - 1$

ステップ 3.3.1.4

$0.99984769$ に $- 1$ をかけます。

$y - 1 = 0.99984769 x - 0.99984769$

ステップ 3.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = 0.99984769 x - 0.99984769 + 1$

ステップ 3.3.2.2

$- 0.99984769$ と $1$ をたし算します。

$y = 0.99984769 x + 0.0001523$

ステップ 4

微分積分 例

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