微分積分例

$y = \frac{8 x}{x^{2} + 1}$ at the origin and at the point $(1, 4)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 1$ と $y = 4$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{8 x}{x^{2} + 1}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$

ステップ 1.2

$f (x) = x$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$8 \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3

微分します。

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ステップ 1.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.2

$x^{2} + 1$ に $1$ をかけます。

$8 \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.3

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$8 \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$8 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.6

式を簡約します。

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ステップ 1.3.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$8 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$8 \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.4

$x$ を $1$ 乗します。

$8 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.5

$x$ を $1$ 乗します。

$8 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$8 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$8 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.8

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$8 \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.9

$8$ と $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{8 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.10

簡約します。

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ステップ 1.10.1

分配則を当てはめます。

$\frac{8 (- x^{2}) + 8 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.10.2

各項を簡約します。

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ステップ 1.10.2.1

$- 1$ に $8$ をかけます。

$\frac{- 8 x^{2} + 8 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.10.2.2

$8$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 8 x^{2} + 8}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.11

$x = 1$ で微分係数を求めます。

$\frac{- 8 {(1)}^{2} + 8}{{({(1)}^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.12

簡約します。

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ステップ 1.12.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.12.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{- 8 \cdot 1 + 8}{{(1^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.12.1.2

$- 8$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 8 + 8}{{(1^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.12.1.3

$- 8$ と $8$ をたし算します。

$\frac{0}{{(1^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.12.2

分母を簡約します。

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ステップ 1.12.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{0}{{(1 + 1)}^{2}}$

ステップ 1.12.2.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{0}{2^{2}}$

ステップ 1.12.2.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{0}{4}$

ステップ 1.12.3

$0$ を $4$ で割ります。

$0$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $0$ と与えられた点 $(1, 4)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (4) = 0 \cdot (x - (1))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 4 = 0 \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$0$ に $x - 1$ をかけます。

$y - 4 = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$y = 4$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例